算法导论-第23章-最小生成树
对于无向图 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E)，存在一个能够连接所有顶点的无环子集 T ⊆ E T \subseteq E T⊆E，由于 T T T 无环且连接所有顶点，因此 T T T 一定为一棵树，被称为生成树。无向图 G = ( V , E ) G=(V, E) G=(V,E) 的所有生成树都恰有 ∣ V ∣ − 1 |V|-1 ∣V∣−1 条边。设 ( u , v ) ∈ E (u, v) \in E (u,v)∈E 的权重为 w ( u , v ) w(u, v) w(u,v)，生成树的权重为 w ( T ) = ∑ ( u , v ) ∈ E w ( u , v ) w(T)=\sum_{(u, v) \in E}w(u, v) w(T)=∑(u,v)∈Ew(u,v)，所有生成树中权重最小的生成树称为最小生成树（minimum-weight spanning tree，MST）。
本章将讨论解决最小生成树问题的两种算法：Kruskal算法和Prim算法。如果使用普通的二叉堆，这两个算法的运行时间均为 O ( E log V ) \Omicron(E \log V) O(ElogV)。如果使用斐波那契堆，Prim算法的运行时间将改进为 O ( E + V log V ) \Omicron(E+V\log V) O(E+VlogV)。此运行时间当 ∣ V ∣ |V| ∣V∣ 远小于 ∣ E ∣ |E| ∣E∣ 的情况下较二叉堆有很大的改进。
Kruskal算法和Prim算法都是贪心算法。
23.1 最小生成树的形成
在每遍循环之前，A是某棵最小生成树的一个子集。
选择一条边 ( u , v ) (u, v) (u,v) 加入到集合 A A A 中，使得 A A A 不违反循环不变式，即 A ∪ { ( u , v ) } A \cup \{(u, v)\} A∪{(u,v)} 也是最小生成树的子集。由于我们可以安全的将这样的边加入到集合 A A A 中而不会破坏 A A A 的循环不变式，因此这样的边称为集合 A A A 的安全边。
循环不变式：
- 初始化：在算法第1行之后，集合 A A A 直接满足循环不变式。
- 保持：算法2~4行的循环通过只加入安全边来维持循环不变式。
- 终止：所有加入到集合 A A A 中的边都属于最小生成树，因此，算法第5行所返回的集合 A A A 必然是一棵最小生成树。
关键在于如何找到一条安全边，将其加入到集合 A A A 中。下面就是快速找到安全边的两个算法。
23.2 kruskal算法
Kruskal算法的贪心策略：通过添加每次连接两个生成树的权重最小的边，从生成树（连接的组件）的森林中生长一个MST。
Kruskal’s algorithm: Grow an MS Tfrom aforest of spanning trees (connected components) by adding the edge that hasthe minimum weight and connects twospanning trees each time.
23.3 Prim算法
Prim算法的贪心策略：通过添加权重最小且在部分MST和一端没有的边，从部分MST中生长成为MST。
Prim’s algorithm: Grow an MST from apartia/ MS Tby adding the edge that hasthe minimum weight and has one end in thepartial MST and one end not in each time.
