算法导论-第34章-计算模型与NP完全性

34.1 引言

34.1.1 算法与计算模型的关系

非形式地说，算法是为实现某个任务而构造的简单指令集。这是一个非严格的算法定义。

1900年，Hilbert在巴黎举行的世界数学家大会上提出了23个数学问题，其中第10个问题是要设计一个算法来测试多项式是否有整数根，他没有用算法这个术语，而用这样一句短语： “通过有限多次运算就可以决定的过程”。

• 该问题是算法上不可解的，1970年由Yuri Matijasevic解决。关键在于算法的精确定义，后来由Church和Turing分别解决，从此称为丘奇-图灵论题。
• Church使用入演算定义算法和Turing使用图灵机定义算法。

现在严格地讲，一个问题算法可解的等于该问题在图灵机上可解（可判断）。

34.1.2 计算模型的作用

• 对于一个计算任务，有两个问题要解决：
  • 该计算任务能否在一个计算机上实现？
  • 该计算任务在一个计算机上实现的复杂度？
• 计算模型可以帮助我们解决上述问题，本课程我们主要学习图灵机模型。
• 计算模型的主要作用：
  • 可计算性：将问题按计算模型的可计算性进行分类。也就是回答一个问题在某种计算模型上是否可计算，而不计较其计算时间的长短。
  • 计算复杂性：将问题按计算模型的计算复杂性(时间和空间)进行分类。
  • 可编程性：在计算模型下算法的实现。

34.1.3 几种计算模型的语言识别能力

• 有限状态自动机能够识别正则文法生成的语言；
• 下推自动机能够识别上下文无关文法生成的语言；
• 线性有界自动机能够识别上下文相关文法生成的语言；
• 然而上述自动机不能识别短语结构文法生成的语言。图灵机能够识别短语结构文法生成的所有语言，是一种能力很强的计算模型。

34.2 图灵机模型

• 确定性图灵机DTM
• 非确定性图灵机NTM

34.3 NP完全问题

P问题：

• 确定性图灵机上具有多项式时间算法的判定问题类

NP问题：

• 在非确定性图灵机上多项式时间可解的问题
• 在确定性图灵机上多项式时间可验证的问题

NP完全问题：

• 存在这样一个NP问题，所有的NP问题都可以约化成它。换句话说，只要解决了这个问题，那么所有的NP问题都解决了。其定义要满足2个条件：
  • 首先，它得是一个NP问题；
  • 然后，所有的NP问题都可以约化到它。
• 要证明npc问题的思路就是： 先证明它至少是一个NP问题，再证明其中一个已知的NPC问题能约化到它。

问题 $A$ 的实例 $I$ 多项式时间内转化为问题 $B$ 的实例 $f(I)$，对于 $A$ 的输入 $I$ 的回答与其对应的 $B$ 的输入 $f(I)$ 一致,则称 $A$ 可多项式归约于 $B$，记为 $A{\le }_{p}B$。

如果 $B$ 可以多项式时间求解，则 $A$ 也可以多项式时间求解。

参考

• https://zhuanlan.zhihu.com/p/73953567
• http://www.matrix67.com/blog/archives/105