多段图规划

一个5段图。

求一条从 $s$ 到 $t$ 的成本最小的路径。

多段图问题满足最优性原理。
证明：反证法。
设 $s,\cdots ,V_{i_p},\cdots ,V_{j_q},\cdots ,t$ 是一条从 $s$ 到 $t$ 的最短路径，但其子路径 $V_{i_p},\cdots ,V_{j_q},\cdots ,t$ 不是最优的。假设最优路径是 $V_{i_p},\cdots ,V_{j_q}^{\prime },\cdots ,t$，重新构造一条路径 $s,\cdots ,V_{i_p},\cdots ,V_{j_q}^{\prime },\cdots ,t$，显然，该路径长度小于 $s,\cdots ,V_{i_p},\cdots ,V_{j_q},\cdots ,t$。与 $s,\cdots ,V_{i_p},\cdots ,V_{j_q},\cdots ,t$ 是从 $s$ 到 $t$ 的最短路径相矛盾，所以原问题满足最优性原理。

递归式推导：

设 $cost(i,j)$ 是结点 $V_i$ 中结点 $V_{i_j}$ 到结点 $t$ 的最小成本路径的成本，递归式为：
$$cost(i,j)=\{\begin{array}{ll}c(j,t)& i=t-1\\ mi{n}_{\{v_l\in V_{i+1}\}}\{c(j,l)+cost(i+1,l)\}& 1\le i<t-1\end{array}$$
计算过程：

• $cost(4，9)=c(9,12)=4$；

  • cost（4， 9）：4 代表 $V_4$ 那一列，9 代表 $V_4$ 那一列的结点 9。
  • c（9， 12）：9 代表结点 9，12 代表结点 12。

• $cost(4，10)=c(10,12)=2$；

• $cost(4，11)=c(11,12)=\infty$；

• $cost(3,6)=min\{c(6,9)+cost(4,9),c(6,10)+cost(4,10)\}=min\{6+4,5+2\}=7$；

  • c(6, 9)+cost(4, 9)：从6-9-12这条路线
  • c(6, 10) + cost(4, 10)：从6-10-12这条路线

• …

• $cost(1,1)=min\{9+cost(2,2),7+cost(2,3),3+cost(2,4),2+cost(2,5)\}=16$

构造解：解1（1， 2， 7， 10， 12），解2（1， 3， 6， 10， 12）。