摘要：第6章　高维线性系统 在线性代数领域稍作停留后，现在该回到微分方程了，特别地，要回到求解具有常系数的高维线性系统的任务中来。和线性代数那一章一样，我们要讨论大量的不同情形。 6.1 不同特征值 首先考虑线性系统$\boldsymbol X' = \boldsymbol {AX}$，其中$n \times n$矩阵$\boldsymbol A$具有$n$个不同的实特征值$\lambda_1,\... 阅读全文

摘要：第5章 高维线性代数 与第2章一样，在试图求解高维线性微分方程系统之前，我们必须熟悉一下高维的线性代数。虽然在高维，矩阵的不同标准形个数变得多了，但在作坐标变换将矩阵化为标准形的过程中所用的代数思想大多都在$2\times 2$情形时出现过了。特别地，当矩阵具有不同(实的或复的)特征值时，除了增加很少的代数复杂性外，可以作类似处理，因而我们首先解决这种情形。在5.6节，我们会看到，这是一种“通有”情形。处理重特征值时需要用到更复杂的代数概念，相应的背景知识将在5.4节给出。5.1 线性代数预备知识 主要内容包括：线性无关、线性相关、标准基、子空间、初等变换(每一个初等变换矩阵都是可逆的，这是因 阅读全文

摘要：第4章 平面系统的分类 在本章，我们将用一种动力系统的观点对迄今所得到的结论进行总结。这意味着我们将至少得到$2 \times 2$自治线性系统所有可能行为的一本完整字典。我们先通过迹-行列式平面以几何方式给出一种字典，另一种字典则要更具有动力系统味道，此时需要用到共轭系统的概念。 4.1 迹-行列式平面 对一个矩阵 \[\boldsymbol A = \left( \begin{array... 阅读全文

摘要：第3章 平面系统的相图 有了上一章的线性叠加原理后，我们现在来计算任一平面系统的通解。粗看，似乎有无穷多不同的情形要讨论，但我们将看到，最简形式的几个例子就几乎涵盖了我们在高维情形将要遇到的所有解的类型。 3.1 不同实特征值 考虑系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$，假设$\boldsymbol A$有两个实特征值$\lambda_10$，位于$y$轴上解... 阅读全文

摘要：第2章 平面线性系统 在本章我们开始研究微分方程组系统。形如 \[\pmb X’ = F(t, \boldsymbol X),\] 其中 \[F(t, \boldsymbol X) = \left( \begin{array}{l}{f_1}(t,{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \\{f_n}(t,{x_1},... 阅读全文

摘要：微分方程模型在模型分析中的主要问题之一是稳定性分析。 微分方程模型的稳定性及其实际意义 用微分方程方法建立的动态模型问题中的一个重要问题是：当时间充分长后 ，动态过程的变化趋势是什么？微分方程模型中，方程 ( 组 ) + 初始条件 → 解。初始条件的作用在于确定解, 它的微小变化会产生不同的解，换言之，对解的发展性态变化，往往具有影响作用。问题是这种对解的发展性态的影响作用是长期存在的，... 阅读全文