微分方程、动力系统与混沌导论 第2章 平面线性系统[书摘]
第2章 平面线性系统
在本章我们开始研究微分方程组系统。形如
\[\pmb X’ = F(t, \boldsymbol X),\]
其中
\[F(t, \boldsymbol X) = \left( \begin{array}{l}{f_1}(t,{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n})\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \vdots \\{f_n}(t,{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_n})\end{array} \right).\]
该系统的一个解就是满足方程的形如$\boldsymbol X(t)=(x_1(t) \cdots,x_n(t))$的函数，即
\[\boldsymbol X't(t) = F(t, \boldsymbol X(t)),\]
其中$\boldsymbol X'(t)=(x'_1(t) \cdots,x'_n(t))$。当然，现在我们还不能保证存在这样的一个解，但我们将在2.7节讨论这个复杂的问题。
如果所有的$f_j$都不依赖$t$，上述方程组系统就称为自治的，此时系统变成$\boldsymbol X'=F(\boldsymbol X).$。我们主要关心自治系统。
同一阶微分方程一样，满足$F(\boldsymbol X_0)=0$的向量$\boldsymbol X_0$称为系统的一个平衡点，而该平衡点则对应系统的一个常数解$\boldsymbol X(t) = \boldsymbol X_0$。
2.1 二阶微分方程
在科学和工程中出现的许多的微分方程都是二阶微分方程。这些方程具有如下的形式：
\[x''(t) = f(t,x,x').\]
这些二阶方程的重要例子中包括牛顿方程
\[mx''=f(x),\]
电子工程中的RLC电路方程
\[LCx''+RCx'+x=v(t),\]
以及大多数初等微分方程课程的支柱——受迫调和振子
\[mx''+bx'+kx=f(t).\]
如果引入第二个变量$y=x'$，这些方程都只是一般二维微分方程系统的一类特例。
例如，考虑如下常系统二阶方程
\[x''+ax'+bx=0.\]
如果令$y=x'$，则可将上述方程改写为以下的一阶方程组
\[\left\{ \begin{array}{l}x' = y\\y' = - bx - ay.\end{array} \right.\]
任何二阶方程都可以通过这种方式改写成一个一阶方程组。因而在本书的后面，我们将主要讨论方程组。
2.2 平面系统
在本章的余下部分，我们将讨论平面$\mathbb{R}^2$上的自治系统。将它们写成如下形式
\[\begin{array}{l}x' = f(x,y),\\y' = g(x,y),\end{array}\]
我们可以将上述方程简写成$\boldsymbol X'=F(\boldsymbol X)$，其中$\boldsymbol X = (x,y),\boldsymbol F(\boldsymbol X) = \boldsymbol F(x,y) = (f(x,y),g(x,y))$。
我们将上述方程的右端看成是$\mathbb{R}^2$上的向量场，即我们认为$\boldsymbol F(x,y)$代表$\mathbb{R}^2$上的一个向量，其$x$分量和$y$分量分别是$f(x,y)$和$g(x,y)$，而且其基点为$(x,y)$。例如，与系统
\[\begin{array}{l}x'=y\\y'=-x\end{array} \]
相关联的向量场如图2.1所示。注意到，此时许多向量相互重叠，这使得图形很难分辨。为此，我们通常作方向场来替代。所谓方向场就是向量场的归一化，即不考虑向量的长度而只考虑其方向(如何读图呢？比如对于点$(x,y)=(1,1)$，对应的向量场就是(1,-1)，从点(1,1)处引一向量(1,-1)，即得到向量场)。
现在，该系统的一个解可以看成是平面上一条形如$(x(t),y(t))$的参数曲线，其中对每一个$t$，在点$(x(t),y(t))$处的切向量就是$\boldsymbol F(x(t),y(t))$，即解曲线$(x(t),y(t))$总是以在基点$(x(t),y(t))$处切于给定向量$\boldsymbol F(x(t),y(t))$的方式在平面上缠绕。
2.3 代数预备知识
在进一步讨论微分方程系统之前，我们需要先提一下相关代数方程组系统的一些基本事实。我们将常常遇到如下的方程组：
\[\begin{array}{l} ax+by=\alpha, \\ cx+dy=\beta, \end{array}\]
上述方程可用矩阵形式写成
\[\left( \begin{array}{l}a\;\;b\\c\;\;d\end{array} \right)\left( \begin{array}{l}x\\y\end{array} \right) = \left( \begin{array}{l}\alpha \\\beta \end{array} \right).\]
用$\boldsymbol A$表示$2\times2$的系数矩阵
\[\boldsymbol A=\left( \begin{array}{l}a\;\;b\\c\;\;d\end{array} \right). \]
事实上，这样的方程组有唯一解的充要条件是$\boldsymbol A$的行列式非零。回忆行列式的定义
\[\det \boldsymbol A=ad-bc.\]
当$\det \boldsymbol A=0$时，可能有解也可能无解(像这样的线性方程组解的情况只有三种：无解，唯一解，无穷多解)，但如果有解的话(前提)，则事实上有无穷多解。
如果$\det \boldsymbol A=0$，在$\alpha = \beta =0$的特殊情形，
\[\boldsymbol A \left(\begin{array}{l} x \\ y \end {array} \right)=\left( \begin{array}{l} 0\\0 \end{array}\right)\]
总有无穷多解。事实上，如果$\boldsymbol A$中的系数$a$非零，则有$x=-(b/a)y$，从而
\[-c \left(\frac ba \right)y+dy=0.\]
于是$(ad-bd)y=0$。由于$\det \boldsymbol A=0$，方程的解为$(-(b/a)y,y)$，其中$y$是任意的。这就意味着，任一解都位于平面上过原点的一条直线上。只要$\boldsymbol A$中的元素有一个非零，都会有类似的直线。
2.4 平面线性系统
我们现在将注意力集中到最重要的一类平面微分方程系统，也即线性系统。在自治情形，这些系统有如下简单的形式
\[\begin {array}{l} x'=ax+by,\\y'=cx+dy, \end{array}\]
可简写成
\[\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}.\]
注意到原点总是线性系统的一个平衡点。为了寻找其它平衡点，我们需要求解代数方程组的线性系统
\[\begin {array}{l}ax+by=0, \\ cx+dy=0.\end {array}\]
这个系统有非零解当且仅当$\det \boldsymbol A=0$(因为总有零解，为了保证有非零解，这说明解不唯一，而唯一解的充要条件是$\det \boldsymbol A$非零)。在胶布我们已经知道，当 $\det \boldsymbol A=0$时，则有一条通过原点的直线，上面的每一个点都平衡点。于是我们得到：
命题
(1)当$\det \boldsymbol A \ne 0$时，平面线性系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$有唯一的平衡点(0,0)；
(2)当$\det \boldsymbol A=0$(并且$\boldsymbol A$不是0矩阵)时，平面线性系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$的平衡点由一条直线构成。
2.5 特征值和特征向量
现在我们来研究如何寻找线性系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$的非平衡点解。此时，一个关键的观察是：假设$\boldsymbol V_0$为一非零向量，满足$\boldsymbol {AV_0}=\lambda \boldsymbol V_0(\lambda \in \mathbb R)$，则函数
\[\boldsymbol X(t) = e^{\lambda t} \boldsymbol V_0\]
为系统的一个解。为此，我们作如下计算：
\[\begin{array}{l}\boldsymbol X'(t) = \lambda {e^{\lambda t}}\boldsymbol {V_0}\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {e^{\lambda t}}\left( {\lambda \boldsymbol {V_0}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = {e^{\lambda t}}\left( \boldsymbol{A{V_0}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \boldsymbol A\left( {{e^{\lambda t}}\boldsymbol {V_0}} \right)\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \boldsymbol {AX}(t).\end{array}\]
这表明$\boldsymbol X(t)$确实为系统的一个解。这样的向量$\boldsymbol V_0$以及与之相关的标题有下面的名称：
定义 一个非零向量$\boldsymbol V_0$称为$\boldsymbol A$的一个$\boldsymbol V_0$，如果对某个实数$\lambda,\boldsymbol {AV_0}=\lambda \boldsymbol V_0$，常数$\lambda$则称为$\boldsymbol A$的一个特征值。
刚才我们已经看到，特征值、特征向量和微分方程系统的解之间有一个重要的关系：
定理 假设向量$\boldsymbol V_0$为矩阵$\boldsymbol A$属于$\lambda$的一个特征向量，则函数$\boldsymbol X(t)=e^{\lambda t}\boldsymbol V_0$为系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$的一个解。
特征多项式——$\det(\boldsymbol A-\lambda \boldsymbol I)$；特征方程——$\det(\boldsymbol A-\lambda \boldsymbol I)=0$为了寻找特征向量，首先需要找到特征方程的根，也就是特征值。然后利用这些特征值再来寻找相应的特征向量。
2.6 求解线性系统
在上节我们已经注意到，如果我们可以找到特征方程的两个不同实根$\lambda_1$和$\lambda_2$，则我们就可以得到微分方程系统的一对解$\boldsymbol X_i(t)=e^{\lambda_i t}\boldsymbol V_i$，这里$\boldsymbol V_i$是属于$\lambda_i$的一个特征向量。注意这每一个解都是直线解。事实上，我们有$\boldsymbol X_i(0)=\boldsymbol V_i$，这是平面上的一个非令点。对每个$t,e^{\lambda_it}\boldsymbol V_i$无非就是$\boldsymbol V_i$乘上一个标量，因为它们都位于从原点出发经过$\boldsymbol V_i$的射线上。
定理 假设$\boldsymbol A$有一对实特征值$\lambda_1 \ne \lambda_2$，对应的特征向量$\boldsymbol V_1$和$\boldsymbol V_2$。则线性系统$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$的通解为
\[\boldsymbol X(t) = \alpha e^{\lambda_1 t}\boldsymbol V_1 + \beta e^{\lambda_2 t}\boldsymbol V_2.\]
2.7 线性叠加原理
上一节讨论的定理是一般$n$维线性系统基本定理一个很特殊的情形。这个结论在二维情形可以如下描述：若$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$是一个平面线性系统，$\boldsymbol Y_1(t)$和$\boldsymbol Y_2(t)$是它的两个解，则函数$\alpha \boldsymbol Y_1(t) + \beta \boldsymbol Y_2(t)$也是该系统的一个解。证明这个结论并没有用到特征值是实的且是不同的。这个事实称为线性叠加原理。更重要的是，如果初值条件$\boldsymbol Y_1(0)$和$\boldsymbol Y_2(0)$是线性无关的向量，则它们构成了$\mathbb R^2$的一个基，于是任给向量$\boldsymbol X_0 \in \mathbb R^2$，可以确定常数$\alpha$和$\beta$使得$\boldsymbol X_0 = \alpha \boldsymbol Y_1(0) + \beta \boldsymbol Y_2(0)$，于是线性叠加原理告诉我们，满足初值条件$\boldsymbol X(0) = \boldsymbol X_0$的解就是$\boldsymbol X(t)=\alpha \boldsymbol Y_1(t) + \beta \boldsymbol Y_2(t)$。从而我们就得到了系统任一给定初值问题的一个解。这一重要的结论可以总结成：
定理 设$\boldsymbol X'=\boldsymbol {AX}$为一平面线性系统，$\boldsymbol Y_1(t)$和$\boldsymbol Y_2(t)$是它的两个解，而且$\boldsymbol Y_1(0)$和$\boldsymbol Y_2(0)$是线性无关的(事实上也保证了$\boldsymbol Y_1(t)$和$\boldsymbol Y_2(t)$是线性无关的)。则
\[\boldsymbol X(t)=\alpha \boldsymbol Y_1(t) + \beta \boldsymbol Y_2(t)\]
是系统满足初值条件$\boldsymbol X_0 = \alpha \boldsymbol Y_1(0) + \beta \boldsymbol Y_2(0)$的唯一解。
说明：如果去除时间$t$，问题相对容易理解，而加上时间$t$后，定理告诉我们，在$t=0$时刻，若两个解线性无关，之后在任意时刻$t$依然线性无关；在$t=0$时刻，若有$\boldsymbol X_0 = \alpha \boldsymbol Y_1(0) + \beta \boldsymbol Y_2(0)$，则在任意时刻$t$，有$\boldsymbol X(t)=\alpha \boldsymbol Y_1(t) + \beta \boldsymbol Y_2(t)$成立。
