最小表示法(模板)

最小表示法就是对于一个循环字符串，其字典序最小的状态；

显然任意一个循环串的最小表示法是唯一的，那么可以同过比较两个循环串的最小表示法来判断它们是否相同；

 

对于朴素算法：

初始化：i = 0, j = 1, k = 0;

若 s[i] < s[j]，j++；

若 s[i] > s[j]，i = j, j++；

若 s[i] == s[j]，则 k++，直至 s[i + k] != s[j + k]

　　对于 s[i + k] < s[j + k]，j++；

　　否则 i = j, j++；

返回 min(i, j)；

 

时间复杂度 O(n^2)，其中 n 为字符串 s 的长度；

 

代码：

int get_min(string s){
    int len = s.size();
    int i = 0, j = 1, k = 0;
    while(i < len && j < len){
        if(s[i] < s[j]) j++;
        else if(s[i] > s[j]) i = j++;
        else{
            k = 0;
            while(k < len && s[i + k] == s[j + k]){
                k++;
            }
            if(s[i + k] < s[j + k]) j++;
            else i = j++;
        }
    }
    return i < j ? i : j;
}

 

优化：

 s[i + k] != s[j + k]时：

对于 s[i + k] > s[j + k]， 可直接令 i += k + 1；

关于其正确性证明：

i += k + 1 可行，只需证明 1) 以 i ~ i + k 中字符为头首字符的串不可能字典序最小；

证明 1) ，只需证明 2) 对于以 i ~ i + k 开头，以 i + k 结尾的后缀，一定存在等长的子串字典序比其小；

证明 2)： 任取 i <= i' <= i + k，构造子串 s[i', i + k]，len = i  + k - i' + 1；取与其等长子串 s[j + k - len + 1 , j + k]；

显然有：s[i', i + k - 1] = s[j + k - len + 1, j + k - 1] && s[i + k] > s[j + k]，所以 s[i', i + k] > s[j + k - len + 1, j + k]；

所以结论 2) 得证，即结论 1) 得证；

 

对于 s[i + k] < s[j + k]，可令 j += k + 1 ；

其正确性证明与上面类似：

j += j + 1 可行，只需证明 1) 以 j ~ j + k 中字符为头首字符的串不可能字典序最小；

证明 1) ，只需证明 2) 对于以 j ~ j + k 开头，以 j + k 结尾的后缀，一定存在等长的子串字典序比其小；

证明 2)： 任取 j <= j' <= j + k，构造子串 s[j', j + k]，len = j  + k - j' + 1；取与其等长子串 s[i + k - len + 1 , i + k]；

显然有：s[j', j + k - 1] = s[i + k - len + 1, i + k - 1] && s[j + k] > s[i + k]，所以 s[j', j + k] > s[i + k - len + 1, i + k]；

所以结论 2) 得证，即结论 1) 得证；

 

注意：若出现 i == j 的情况，则将 j 往后移一位；

 

时间复杂度 O(n)，其中 n 为字符串 s 的长度；

 

代码：

void get_min(int n, int m){//最小表示法
    int i = 0, j = 1 ,k = 0, t;
    while(i < m && j < m && k < m){
        t = a[n][(i + k) % m] - a[n][(j + k) % m];
        if (!t) k++;
        else{
            if(t > 0) i += k + 1;
            else j += k + 1;
            if (i == j) j++;
            k = 0;
        }
    }
    a[n][m] = i < j ? i : j;
}