算法分析与设计复习__dp动态规划
-
动态规划
考点（后两列无需考虑）
![]()
1.1基本思想:
动态规划法与分治法类似，也是将原问题分解成若干个子问题，先求解子问题再从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，子问题往往不是相互独立的。动态规划法所针对的问题有一个显著的特征，即它所对应的子问题树中的子问题大量重复出现。
因此动态规划法的相应特征是，对于重复出现的子问题，只在第一次遇到时进行求解，并把答案保存起来，以后再遇到相同子问题时直接引用，不必重新求解。
1.2设计步骤:
动态规划算法的设计有4个步骤
(1)刻画最优解的结构。
(2)递归定义最优解的值。
(3)以自底向上的方式计算最优解的值。
(4)根据计算最优值时得到的信息构造问题最优解.步骤(1)-(3)是动态规划的基本步骤。对于给定问题，如果只需要求出最优值，那么步骤(4)可以省略。若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤(4)，步骤(3)中记录的信息是构造最优解的基础。
1.3 动态规划解决0-1背包问题
问题描述：
某商店有ｎ个物品，第ｉ个物品价值为ｖｉ，重量(或权重)为ｗｉ，背包的容量为Ｗ。每种物品只能选择完全装入或不装入背包，一个物品至多装入一次，因此该问题被称为0-1背包问题。目标是如何选择装入背包的物品，使装入背包的物品总价值最大。
可将0-1背包问题描述为如下形式:
1.3.1求解步骤:
1.3.1.1个人理解:
步骤2：c[i,w]递归式；
第一个情况：没东西（i=0）/背包空间为0（w=0）;
第二种情况:第i个东西比背包总容量大，装不下;只能考虑前i-1个东西来装;
第三种情况【第i个装/不装进去】:
装下第i个，这样少了wi
个空间，但增加了vi
的价值；
第i个东西可以不装（留着装前面i-1个物品中的某些）;
取两个中最大值。【最大值即上一步的最优解】；【一定找的到最优解，但不一定所有最优解都找的完；比如这一步的价值是10；上一步是8和7；那么从上一步到这一步就是8+2=10，和7+3=10；我们考虑的每一步都求稳找到最优解，所以一定不会选7（即便他的最后一步是会+3到10）】
填表顺序：从左到右，从上到下；
1.3.2 伪代码实现_(3)最优值表的构建
KNAPSACK-DP(n, W)
for w <- 0 to W
do c[0, w] <- 0
for i <- 1 to n
do c[i, 0] <- 0
for w <- 1 to W
do if w[i] ≤ w
then if v[i] + c[i-l, w -w[i] ] > c[i-l, w]
then c[i, w] <- v[i]+ c[i-1, w-w[i] ]
else c[i, w] <- c[i-1, w]
else c[i, w] <- c[i-1, w]1.3.2.1个人理解：
1-4句：初始化；把左、上的边界给值为0；【没有东西/背包空间为0 –结果都是总价值v为0】
5句：开始计算表的内层；（注意还在3的大循环里）
6：如果第i个物品的重量wi
≤背包的空间（w），即能装下；那么then：
7：比较装/不装两种情况的最大值；如果装了更大，then:
8：把这个最大值赋给c[i,w]；
9：如果不装更大，那就不装，此时考虑前i个和考虑前i-1个的一样的情况；所以c[i-1,w]赋给了c[i,w];
10：对应6的if,如果装不下第i个，那就考虑前i-1个，同9；
计算最优值时间为 O(nW)--:时间来源于3，5句的 双重for循环;
1.3.3 伪代码实现_(4)求问题的最优解
1.3.3.1代码解释:
1句：循环i : n 到2 (downto 2是直到减到2的时候)
2：即判断，第i个是否对总价值c产生影响（没影响就是没装）
3：得出xi =0,没装；
4：else装了；
5：装了的情况下，减去消耗的空间;w= w-wi;
6：x1（第一个物品）的赋值【是边界，没法去比较第1个和第0个，所以单独拿出来说明】;语句即判断，if c[1,w] =1那么x为1，or为0；【c[1,w]即只考虑了第一个物品，那就要么装第一个，要么什么都没有；所以可以用0/1去判断】
7： return x 是一个01串，是个序列，代表每i个物品装/不装；
构造最优解的时间为 O(n)。
1.3.4 例题
一般题目给出一个实际例子，要求解出递归方程c[i,w];求出结果--最优解；
1.3.4.1 最优值表
1.3.4.2 课件例题
【最大子段和没来得及看，不会，，，】
