算法第五章作业

1. 回溯法分析 “最小重量机器设计问题”
   1.1 解空间解空间是所有可能的机器设计方案的集合，表现为n 元组((x_1, x_2, ..., x_n))：(x_i \in {1,2,...,m})，表示第i个部件选择第(x_i)个供应商；每个元组对应一种完整的设计方案，解空间的规模为(m^n)（每个部件有m种选择）。
   1.2 解空间树解空间树是一棵n 层的完全 m 叉树：第k层（(1 \leq k \leq n)）对应第k个部件的供应商选择；树的每个节点代表 “已确定前k个部件的供应商” 的中间状态；叶子节点对应完整的n个部件的选择方案（即解空间中的元组）。
   1.3 节点的状态值遍历解空间树时，每个节点需记录以下状态：当前总价格：前k个部件的价格之和（用于约束剪枝，若超过d则终止该分支搜索）；当前总重量：前k个部件的重量之和（用于限界剪枝，若不小于当前最优重量则终止该分支搜索）；前k个部件的供应商选择：记录已选的供应商序号，用于最终输出方案。
2. 对回溯算法的理解核心思想：通过深度优先搜索遍历问题的解空间，同时利用剪枝策略（约束剪枝、限界剪枝）跳过无效分支，从而找到满足约束的所有解（或最优解）。基本步骤：定义问题的解空间；构造解空间树（按一定规则组织解空间）；深度优先遍历解空间树，同时判断约束与限界条件，剪去无效分支。特点：优势：能穷举所有可能解，确保找到最优解（或所有可行解）；局限性：时间复杂度通常为指数级（如本问题为(O(m^n))），需依赖剪枝优化效率；剪枝策略：约束剪枝：若当前状态不满足问题的约束条件（如本问题总价格超过d），终止该分支搜索；限界剪枝：若当前状态的目标函数值（如本问题的总重量）已不优于当前已知最优解，终止该分支搜索。