第四章作业

1.选点问题的贪心策略、证明及时间复杂度
“选点问题”通常指区间选点问题（如：在数轴上选最少的点，使每个区间至少包含一个点），其贪心策略、证明及复杂度如下：
-贪心策略：
将所有区间按右端点升序排序，依次遍历区间：若当前区间未被已选点覆盖，则选择该区间的右端点作为选点。
-贪心选择性质证明：
假设最优解为S，第一个选点为x（覆盖第一个区间[a₁,b₁]）。由于区间按右端点排序，b₁≤后续区间的右端点，选择b₁作为第一个点，不会比选择x（x≤b₁）覆盖更少的区间。因此，贪心选择（选b₁）能得到最优解的前缀，满足贪心选择性质。
-时间复杂度：
排序的时间复杂度为O(nlogn)，遍历区间的时间复杂度为O(n)，整体复杂度为O(nlogn)（n为区间数量）。

2.对贪心算法的理解
贪心算法是一种局部最优导向全局最优的算法思想，核心特点：
-决策方式：每一步都选择当前状态下的“局部最优解”，不回溯。
-适用场景：问题需同时满足贪心选择性质（局部最优可导出全局最优）和最优子结构性质（问题的最优解包含子问题的最优解）。
-优缺点：
优点：实现简单、时间复杂度低；
缺点：仅部分问题适用（若不满足贪心选择性质，会得到次优解）。
-典型应用：区间选点、活动安排、哈夫曼编码、最小生成树（Prim/Kruskal）等。