第三章作业

1.1 根据最优子结构性质，列出递归方程式，说明方程式的定义、边界条件
（1）递归方程式：a[i][j]=a[i][j]+max(a[i+1][j],a[i+1][j+1])
（2）定义：设 a[i][j] 表示从第 i 行第 j 列出发到达底部的最大路径和，从 (i, j) 出发到底部的最大路径和，等于当前位置的值加上从下一行左下方 (i+1, j) 或右下方 (i+1, j+1) 出发的最大路径和中的较大值。
（3）边界条件：当 i=n-1 时，a[n-1][j] 保持不变。
1.2 给出填表法中表的维度、填表范围和填表顺序。以及原问题的最优值是哪个表格元素
（1）表的维度：a[100][100]
（2）填表范围：i 从 n-1 到 0，j 从 0 到 i
（3）填表顺序：从下到上，从左到右
（4）最优值：a[0][0]（从顶部出发到底部的最大路径和）
1.3 分析该算法的时间和空间复杂度
（1）时间复杂度：双重循环，外层循环 n 次，内层循环最多 n 次，时间复杂度为 O（n*n）。
（2）空间复杂度：直接在 a[100][100] 上进行计算，没有使用额外的存储空间，空间复杂度为 O(1)。
对动态规划算法的理解和体会
动态规划的核心是捕捉重叠子问题与最优子结构，通过表格存储中间结果，将暴力解法的指数级复杂度优化为多项式级。其关键在于合理定义状态与设计转移方程，无需重复计算子问题，高效求解全局最优。该方法灵活且通用，是解决各类优化问题的重要范式。