算法第五章作业

1、对于 “最小重量机器设计问题”，回溯法的核心逻辑是：为每个部件依次选择供应商，累计总价格和总重量，若总价格超过限制则剪枝；若遍历完所有部件（到达叶子节点），则更新最小重量和最优供应商选择。
1.1、（1）解的形式：每个解是一个长度为 n 的序列 (j₁, j₂, ..., jₙ)，其中： jᵢ ∈ {1, 2, ..., m}（jᵢ 表示第 i 个部件选择的供应商编号）；约束条件：总价格 ∑cᵢⱼᵢ ≤ d（cᵢⱼᵢ 是第 i 个部件从供应商 jᵢ 采购的价格）； 优化目标：总重量 ∑wᵢⱼᵢ 最小（wᵢⱼᵢ 是第 i 个部件从供应商 jᵢ 采购的重量）。（2）解空间的范围：无约束时，解空间包含 mⁿ 个可能的序列（每个部件有 m 种选择，共 n 个部件）； 有约束时，解空间是上述集合中满足 ∑cᵢⱼᵢ ≤ d 的子集。（3）解空间的类型：属于排列树 / 组合树，每个解对应解空间树中从根到叶子的一条路径。
1.2、解空间树是一棵 m 叉树，结构如下： （1）树的节点定义：根节点：第 0 层，无部件选择，总价格 = 0，总重量 = 0；第 k 层节点（1 ≤ k ≤ n）：表示已确定前 k 个部件的供应商，正在选择第 k+1 个部件的供应商；叶子节点：第 n 层，所有 n 个部件的供应商已确定，对应一个完整的解（序列）。（2）树的边定义：从第 k 层节点到第 k+1 层节点的边，表示为第 k+1 个部件选择某个供应商 j（j=1~m），每条边对应一个具体的选择。（3）遍历方式：回溯法采用深度优先遍历：从根节点出发，先选第 1 个部件的供应商 1，再选第 2 个部件的供应商 1，…，直到叶子节点；若不满足约束或无优化空间，则回溯到上一层，选择下一个供应商，重复此过程。
1.3、cur_part ： cur_part=0：未处理任何部件（根节点）；cur_part=n：所有部件处理完成（叶子节点）。
cur_cost ：累计总价格：已选择的 cur_part 个部件的价格之和，约束：cur_cost ≤ d（否则剪枝）。
cur_weight： 累计总重量：已选择的 cur_part 个部件的重量之和，剪枝条件：cur_weight ≥ min_weight（当前重量已超过已知最小值，无需继续遍历）。
cur_choice： 已选择的供应商序列：长度为 cur_part 的数组，记录前 cur_part 个部件分别选择的供应商编号（用于最终输出最优解）。
2、回溯算法是一种基于深度优先搜索 + 剪枝的通用算法框架，核心是 “尝试 - 回退 - 再尝试”，用于求解组合、排列、子集、优化等问题，尤其适用于 “解空间庞大但需满足特定约束” 的场景（如本题的最小重量机器设计、N 皇后、数独、子集和等）。它不是一种具体算法，而是一种问题求解思路，本质是通过遍历解空间树，逐步构建解的候选，若候选不满足约束则 “回溯”（撤销当前选择），避免无效遍历，最终找到可行解或最优解。