算法第四章作业

问题分析：选点问题的核心是：在数轴上给定若干闭区间，用最少数量的点覆盖所有区间（每个区间至少包含一个点）。
贪心策略：1、排序：将所有区间按右端点升序排列； 2、选点：初始化选点数量为 0，上一个选点位置为 “无效值”（如 - 1）；遍历排序后的区间，若当前区间的左端点 > 上一个选点位置（说明当前区间未被覆盖），则在当前区间的右端点选一个点，同时更新选点数量和上一个选点位置。每次选择当前区间的右端点作为选点，是因为右端点是当前区间能覆盖后续区间的 “最远位置”—— 选右端点能最大化覆盖后续区间的可能性，从而最小化总选点数量。
时间复杂度：遍历 n个区间，时间复杂度为 O(n)；对 n个区间按右端点排序，使用 C++ 标准库的 sort（底层为快速排序 / 归并排序），时间复杂度为 O(nlogn)；再次遍历 n个区间，时间复杂度为 O(n)。总时间复杂度由 “排序” 这一最高阶项主导，因此为 O(nlogn)。
对贪心算法的理解：贪心算法是一种在每一步选择中都采取当前状态下的最优选择（局部最优），从而希望最终导致全局最优解的算法思想。贪心算法的解题步骤： 1. 问题拆解：将原问题拆解为多个可以独立做局部选择的子问题 2. 确定贪心策略：找到每一步的局部最优选择方向（比如选点问题的 “选区间右端点”、背包问题的 “按单位价值排序”） 3. 证明正确性：必须证明当前的贪心策略满足贪心选择性质和最优子结构，否则贪心算法得到的可能是局部最优，而非全局最优。它具有一定局限性：1. 不是所有问题都适用：如果问题不满足贪心选择性质，贪心算法会得到错误的结果比如 0-1 背包问题，贪心算法（按单位价值排序选择）无法得到全局最优，而必须使用动态规划 2. 无法回溯：一旦做出选择就无法修改，如果当前的局部最优从全局来看是错误的，算法无法修正 3. 对问题的结构要求高：必须能找到明确的、可执行的局部最优选择规则。