算法第三次作业

1. 实践报告
   1.1 递归方程式、定义与边界条件
   定义：设 dp[i][j]表示从第 i行第 j列元素到三角形底部的最大路径和。
   递归方程式：
   dp[i][j]=triangle[i][j]+max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])
   边界条件：当 i=n−1时，dp[n−1][j]=triangle[n−1][j]（0≤j≤n−1）
   1.2 填表法分析
   表的维度：二维表，维度为 n×n
   （实际有效区域为三角形，第 i行有 i+1个元素）。
   填表范围：行范围 i从 n−2到 0，列范围 j 从 0 到 i。
   填表顺序：从倒数第二行开始，逐行向上填写；每行内从左到右填写。
   原问题的最优值：dp[0][0]
   1.3 时间和空间复杂度
   时间复杂度：O(n 的2次方)
   空间复杂度：O(n)
2. 对动态规划算法的理解和体会
   动态规划是一种通过分解子问题、利用子问题最优解推导原问题最优解的算法思想。其核心在于识别最优子结构和重叠子问题。动态规划的解题步骤具有通用性：先定义状态，再推导递推公式，最后确定边界条件和填表顺序。空间优化是动态规划的重要技巧，可将空间复杂度从二维优化到一维，在数据规模较大时能显著提升程序的运行效率。