算法时间复杂度

flyfish 2015-7-21

函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)。假设存在一个整数N。使得对于全部的n > N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

算法时间复杂度定义
在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n）是关于问题规模n的函数。进而分析T(n）随n的变化情况并确定T(n）的数量级。

算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。

它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n）的增长率同样。称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。

当中f(n）是问题规模n的某个函数。

这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。 普通情况下，随着n的增大。T(n)增长最慢的算法为最优算法。

推导大O阶：
1.用常数1代替执行时间中的全部加法常数。
2.在改动后的执行次数函数中。仅仅保留最高阶项。

3.假设最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

经常使用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是
O(1) < O(logn) < O(n) < O(nlogn) < O(n2) < O(n3) < O(2n) < O(n!) < O(nn)

以上引用自《大话数据结构》

渐近分析
考虑算法在输入规模趋向无穷时的效率分析就是渐近分析。

渐近分析就是：忽略详细机器、编程或编译器的影响，仅仅观察在输入尺寸n取趋向无穷时算法效率的表现.

O、Ω、Θ表示

O 想象成 ⩽ 函数的渐近上界
Ω 想象成 ⩾ 函数的渐近下界
Θ 想象成 = 函数的准确界

以上引用自《算法之道》

Θ(g(n))={f(n):存在正常数c1,c2和n0。使对全部的n⩾n0，有0⩽c1g(n)⩽f(n)⩽c2g(n)}

O(g(n))={f(n): 存在正常数c和n0，使对全部n⩾n0。有0⩽f(n)⩽cg(n) }

Ω(g(n))={f(n): 存在正常数c和n0，使对全部n ⩾ n0，有0⩽cg(n)⩽f(n) }

o(g(n))={f(n): 对随意正常数c。存在常数n0>0，使对全部的n⩾n0。有0⩽f(n)⩽cg(n) }

ω(g(n))={f(n): 对随意正常数c。存在常数n0>0，使对全部的n⩾n0，有0⩽cg(n)<f(n) }

以上引用自《算法导论》

Ω : omega 美[o’mɛɡə]希腊字母表的最后一个字

Θ: theta 美[‘θitə] 希蜡字母的第八字