完整教程：【图论 组合数学】P10912 [蓝桥杯 2024 国 B] 数星星|普及+
本文涉及知识点
P10912 [蓝桥杯 2024 国 B] 数星星
题目描述
小明正在一棵树上数星星，这棵树有 n n n 个结点 1 , 2 , ⋯ , n 1, 2,\cdots, n 1,2,⋯,n。他定义树上的一个子图 G G G 是一颗星星，当且仅当 G G G 同时满足：
- G G G 是一棵树。
- G G G 中存在某个结点，其度数为 ∣ V G ∣ − 1 |V_G| - 1 ∣VG∣−1。其中 ∣ V G ∣ |V_G| ∣VG∣ 表示这个子图含有的结点数。
两颗星星不相同当且仅当它们包含的结点集合 V G V_G VG 不完全相同。小明想知道这棵树上有多少颗不同的星星包含的结点的数量在区间 [ L , R ] [L, R] [L,R] 中，答案对 1000000007 1000000007 1000000007 取模。
输入格式
输入共 n + 1 n + 1 n+1 行。
第一行为一个正整数 n n n。
后面 n − 1 n - 1 n−1 行，每行两个正整数表示树上的一条边。
第 n + 1 n + 1 n+1 行，两个正整数 L , R L, R L,R。
输出格式
输出共 1 1 1 行，一个整数表示答案。
输入输出样例 #1
输入 #1
6
1 2
1 3
2 4
2 5
3 6
3 4输出 #1
6说明/提示
【样例说明】
包含 3 3 3 个结点的星星有 5 5 5 个，它们的结点集合分别为 { 1 , 2 , 3 } \{1, 2, 3\} {1,2,3}， { 1 , 2 , 4 } \{1, 2, 4\} {1,2,4}， { 1 , 2 , 5 } \{1, 2, 5\} {1,2,5}， { 2 , 4 , 5 } \{2, 4, 5\} {2,4,5}， { 1 , 3 , 6 } \{1, 3, 6\} {1,3,6}。
包含 4 4 4 个结点的星星有 1 1 1 个，它的结点集合为 { 1 , 2 , 4 , 5 } \{1, 2, 4, 5\} {1,2,4,5}。
【评测用例规模与约定】
对于
20
%
20\%
20% 的评测用例，保证
n
≤
20
n \le 20
n≤20。
对于
100
%
100\%
100% 的评测用例，保证
n
≤
1
0
5
n \le 10^5
n≤105，
1
≤
L
≤
R
≤
n
1 \le L \le R \le n
1≤L≤R≤n。
图论 数论
如果G只有一个节点，则一定是星星。
如果G是2个节点u、v，即一条边。也一定是星星。
如果节点数N1>2，则一定只有一个根。因为N1个节点的树，只能有N1-1条边。第二个根不能新增边。
枚举各节点cur为根的星星数量：
如果cur有x个临接点，则从中选择任意个，共
2
x
2^x
2x种。
累加再扣掉边数，两个节点都可以是根。
由于本题是限制节点数[L,R]，则选择[L-1,R-1]个临接点。
枚举节点时间复杂度：O(n)，枚举临节点数量时间复杂度O(n)，总时间复杂度：O(nn)，超时。
如果x个节点的度数是y，则处理一次后乘以x。
时间复杂度：
O
(
n
n
)
O(n\sqrt n)
O(nn)。最多
n
\sqrt n
n种度数。所有的度数之和是边数
×
2
\times 2
×2
代码
核心代码
#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>
#include<array>
#include <bitset>
using namespace std;
template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
in >> pr.first >> pr.second;
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
return in;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4, class T5, class T6, class T7 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4,T5,T6,T7>& t) {
in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t) >> get<4>(t) >> get<5>(t) >> get<6>(t);
return in;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
int n;
cin >> n;
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> ReadNotNum() {
vector<T> ret;
T tmp;
while (cin >> tmp) {
ret.emplace_back(tmp);
if ('\n' == cin.get()) { break; }
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
cin >> ret[i];
}
return ret;
}
template<int N = 1'000'000>
class COutBuff
{
public:
COutBuff() {
m_p = puffer;
}
template<class T>
void write(T x) {
int num[28], sp = 0;
if (x < 0)
*m_p++ = '-', x = -x;
if (!x)
*m_p++ = 48;
while (x)
num[++sp] = x % 10, x /= 10;
while (sp)
*m_p++ = num[sp--] + 48;
AuotToFile();
}
void writestr(const char* sz) {
strcpy(m_p, sz);
m_p += strlen(sz);
AuotToFile();
}
inline void write(char ch)
{
*m_p++ = ch;
AuotToFile();
}
inline void ToFile() {
fwrite(puffer, 1, m_p - puffer, stdout);
m_p = puffer;
}
~COutBuff() {
ToFile();
}
private:
inline void AuotToFile() {
if (m_p - puffer > N - 100) {
ToFile();
}
}
char puffer[N], * m_p;
};
template<int N = 1'000'000>
class CInBuff
{
public:
inline CInBuff() {}
inline CInBuff<N>& operator>>(char& ch) {
FileToBuf();
while (('\r' == *S) || ('\n' == *S) || (' ' == *S)) { S++; }//忽略空格和回车
ch = *S++;
return *this;
}
inline CInBuff<N>& operator>>(int& val) {
FileToBuf();
int x(0), f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
inline CInBuff& operator>>(long long& val) {
FileToBuf();
long long x(0); int f(0);
while (!isdigit(*S))
f |= (*S++ == '-');
while (isdigit(*S))
x = (x << 1) + (x << 3) + (*S++ ^ 48);
val = f ? -x : x; S++;//忽略空格换行
return *this;
}
template<class T1, class T2>
inline CInBuff& operator>>(pair<T1, T2>& val) {
*this >> val.first >> val.second;
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val);
return *this;
}
template<class T1, class T2, class T3, class T4>
inline CInBuff& operator>>(tuple<T1, T2, T3, T4>& val) {
*this >> get<0>(val) >> get<1>(val) >> get<2>(val) >> get<3>(val);
return *this;
}
template<class T = int>
inline CInBuff& operator>>(vector<T>& val) {
int n;
*this >> n;
val.resize(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> val[i];
}
return *this;
}
template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
vector<T> ret(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
*this >> ret[i];
}
return ret;
}
template<class T = int>
vector<T> Read() {
vector<T> ret;
*this >> ret;
return ret;
}
private:
inline void FileToBuf() {
const int canRead = m_iWritePos - (S - buffer);
if (canRead >= 100) { return; }
if (m_bFinish) { return; }
for (int i = 0; i < canRead; i++)
{
buffer[i] = S[i];//memcpy出错
}
m_iWritePos = canRead;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
int readCnt = fread(buffer + m_iWritePos, 1, N - m_iWritePos, stdin);
if (readCnt <= 0) { m_bFinish = true; return; }
m_iWritePos += readCnt;
buffer[m_iWritePos] = 0;
S = buffer;
}
int m_iWritePos = 0; bool m_bFinish = false;
char buffer[N + 10], * S = buffer;
};
template<long long MOD = 1000000007, class T1 = int, class T2 = long long>
class C1097Int
{
public:
C1097Int(T1 iData = 0) :m_iData(iData% MOD)
{
}
C1097Int(T2 llData) :m_iData(llData% MOD) {
}
C1097Int operator+(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int& operator+=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)m_iData + o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int& operator-=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator-(const C1097Int& o)const
{
return C1097Int(((T2)MOD + m_iData - o.m_iData) % MOD);
}
C1097Int operator*(const C1097Int& o)const
{
return((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
}
C1097Int& operator*=(const C1097Int& o)
{
m_iData = ((T2)m_iData * o.m_iData) % MOD;
return *this;
}
C1097Int operator/(const C1097Int& o)const
{
return *this * o.PowNegative1();
}
C1097Int& operator/=(const C1097Int& o)
{
*this *= o.PowNegative1();
return *this;
}
bool operator==(const C1097Int& o)const
{
return m_iData == o.m_iData;
}
bool operator<(const C1097Int& o)const
{
return m_iData < o.m_iData;
}
C1097Int pow(T2 n)const
{
C1097Int iRet = (T1)1, iCur = *this;
while (n)
{
if (n & 1)
{
iRet *= iCur;
}
iCur *= iCur;
n >>= 1;
}
return iRet;
}
C1097Int PowNegative1()const
{
return pow(MOD - 2);
}
T1 ToInt()const
{
return ((T2)m_iData + MOD) % MOD;
}
private:
T1 m_iData = 0;;
};
class CNeiBo
{
public:
static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<pair<int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<int>> vNeiBo(n);
for (const auto& [i1, i2] : edges)
{
vNeiBo[i1 - iBase].emplace_back(i2 - iBase);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[i2 - iBase].emplace_back(i1 - iBase);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<int>> Two(int n, const vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<int>> vNeiBo(n);
for (const auto& v : edges)
{
vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, vector<vector<int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
for (const auto& v : edges)
{
vNeiBo[v[0] - iBase].emplace_back(v[1] - iBase, v[2]);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v[1] - iBase].emplace_back(v[0] - iBase, v[2]);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<std::pair<int, int>>> Three(int n, const vector<tuple<int, int, int>>& edges, bool bDirect, int iBase = 0)
{
vector<vector<std::pair<int, int>>> vNeiBo(n);
for (const auto& [u, v, w] : edges)
{
vNeiBo[u - iBase].emplace_back(v - iBase, w);
if (!bDirect)
{
vNeiBo[v - iBase].emplace_back(u - iBase, w);
}
}
return vNeiBo;
}
static vector<vector<int>> Mat(vector<vector<int>>& neiBoMat)
{
vector<vector<int>> neiBo(neiBoMat.size());
for (int i = 0; i < neiBoMat.size(); i++)
{
for (int j = i + 1; j < neiBoMat.size(); j++)
{
if (neiBoMat[i][j])
{
neiBo[i].emplace_back(j);
neiBo[j].emplace_back(i);
}
}
}
return neiBo;
}
};
template<class T >
class CFactorial
{
public:
CFactorial(int n) :m_res(n + 1) {
m_res[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
m_res[i] = m_res[i - 1] * i;
}
}
T Com(int iSel, int iCanSel)const {
return m_res[iCanSel] / m_res[iSel] / m_res[iCanSel - iSel];
}
T Com(const vector<int>& cnt)const {
T biRet = 1;
int iCanSel = std::accumulate(cnt.begin(), cnt.end(), 0);
for (int j = 0; j < cnt.size(); j++) {
biRet *= Com(cnt[j], iCanSel);
iCanSel -= cnt[j];
}
return biRet;
}
vector<T> m_res;
};
template<class Result = C1097Int<> >
class CCombination
{
public:
CCombination()
{
m_v.assign(1, vector<Result>(1, 1));
}
Result Get(int sel, int total)
{
assert(sel <= total);
while (m_v.size() <= total)
{
int iSize = m_v.size();
m_v.emplace_back(iSize + 1, 1);
for (int i = 1; i < iSize; i++)
{
m_v[iSize][i] = m_v[iSize - 1][i] + m_v[iSize - 1][i - 1];
}
}
return m_v[total][sel];
}
protected:
vector<vector<Result>> m_v;
};
class Solution {
public:
int Ans(const int N, vector<pair<int, int>>& edge, int L, int R) {
L--, R--;
typedef C1097Int<> BI;
vector<int> d(N + 1);
vector<bool> vis(N + 1);
vector<BI> cnt(N);
for (const auto& [u, v] : edge)
{
d[u - 1]++, d[v - 1]++;
}
CFactorial<C1097Int<>> fac(N);
auto Cal = [&](int d) {
if (vis[d]) { return cnt[d]; }
vis[d] = true;
BI res = 0;
for (int i = L; i <= min(R, d); i++)//对于每个i，d个点中选i-1个的结果数
res += fac.Com(i, d);
return cnt[d] = res;
};
BI ans;
for (int i = 0; i < N; i++)
ans += Cal(d[i]);
if (L <= 1 && R >= 1) {
ans -= (N - 1);
}
return ans.ToInt();
}
};
int main() {
#ifdef _DEBUG
freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG
ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(nullptr);
//CInBuff<> in; COutBuff<10'000'000> ob;
int N,L,R;
cin >> N;
auto edge = Read<pair<int, int>>(N - 1);
cin >> L >> R;
#ifdef _DEBUG
printf("N=%d,L=%d,R=%d", N,L,R);
//Out(c, ",c=");
//Out(que, ",que=");
//Out(grid, ",grid=");
Out(edge, ",edge=");
//Out(rr, ",rr=");
//Out(ab, ",ab=");
//Out(par, "par=");
//Out(que, "que=");
//Out(B, "B=");
#endif // DEBUG
Solution slu;
auto res = slu.Ans(N,edge,L,R);
cout << res << "\n";
return 0;
};单元测试
int N, L,R;
vector<pair< int, int>> edge;
TEST_METHOD(TestMethod01)
{
N = 6, L = 3, R = 4, edge = { {1,2},{1,3},{2,4},{2,5},{3,6} };
auto res = Solution().Ans(N, edge,L,R);
AssertEx(6, res);
}扩展阅读
| 我想对大家说的话 |
|---|
| 工作中遇到的问题，可以按类别查阅鄙人的算法文章，请点击《算法与数据汇总》。 |
| 学习算法：按章节学习《喜缺全书算法册》，大量的题目和测试用例，打包下载。重视操作 |
| 有效学习：明确的目标 及时的反馈 拉伸区（难度合适） 专注 |
| 闻缺陷则喜(喜缺)是一个美好的愿望，早发现问题，早修改问题，给老板节约钱。 |
| 子墨子言之：事无终始，无务多业。也就是我们常说的专业的人做专业的事。 |
| 如果程序是一条龙，那算法就是他的是睛 |
| 失败+反思=成功 成功+反思=成功 |
视频课程
先学简单的课程，请移步CSDN学院，听白银讲师（也就是鄙人）的讲解。
https://edu.csdn.net/course/detail/38771
如何你想快速形成战斗了，为老板分忧，请学习C#入职培训、C++入职培训等课程
https://edu.csdn.net/lecturer/6176
测试环境
操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17
或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17
如无特殊说明，本算法用**C++**实现。
浙公网安备 33010602011771号