大模型面试题5：矩阵(M*M)特征值分解的步骤 - 教程

特征值分解的核心是：把一个复杂的M×M矩阵A，拆成3个轻松矩阵的乘积（A = PΛP⁻¹），其中：

• Λ（读作“lambda”）是对角矩阵（只有对角线有值，其余为0），对角线上的数就是“特征值”；
• P是由“特征向量”组成的M×M可逆矩阵（每一列对应一个特征向量）；
• P⁻¹是P的逆矩阵（简单理解为“反向变换矩阵”）。

分解的本质是：找到矩阵A的“核心作用方向”（特征向量）和“每个方向上的缩放倍数”（特征值），把复杂的矩阵运算转化为简单的“缩放+坐标变换”。

先明确2个关键概念（通俗版）

1. 特征向量x：对矩阵A来说，存在一个非零向量x，当A和x相乘（Ax）后，结果相当于x被一个常数λ“拉长/缩短”（即Ax = λx）——x就是A的特征向量（“不变方向”）。
2. 特征值λ特征向量x对应的“缩放倍数”（可正可负、可零，代表A在x方向上的作用强度）。就是：上面的常数λ，就

比如矩阵A是“拉伸变换”，特征向量就是“拉伸方向”，特征值就是“拉伸比例”。

4步搞定M×M矩阵特征值分解（带2×2例子实操）

我们用一个具体的2×2矩阵（M=2，计算简便，可推广到任意M）：

例子矩阵：A = [[3, 1], [1, 3]]（2行2列）

步骤1：求特征值λ——解“特征方程”det(A - λI) = 0

• 核心逻辑：Ax = λx 可变形为 (A - λI)x = 0（I是M×M单位矩阵，对角线为1，其余为0）。
  要让这个方程有“非零解x”（特征向量不能是零向量），必须满足“系数矩阵的行列式为0”（这是线性代数的核心规则，不用深究，记住结论即可）。
• 实操（以例子为例）：
  1. 构造A - λI：把A的对角线元素都减去λ，其余不变。
     I是2×2单位矩阵[[1,0],[0,1]]，所以：
     A - λI = [[3-λ, 1], [1, 3-λ]]
  2. 计算行列式det(A - λI)：对2×2矩阵[[a,b],[c,d]]，行列式=ad - bc。
     det(A - λI) = (3-λ)(3-λ) - 1×1 = (3-λ)² - 1
  3. 解方程det(A - λI) = 0：
     (3-λ)² - 1 = 0 → (3-λ)² = 1 → 3-λ = ±1
     解得特征值：λ₁=4，λ₂=2（M×M矩阵最多有M个特征值，可能重复）。

步骤2：求每个特征值对应的特征向量x

• 核心逻辑：对每个λ，代入方程(A - λI)x = 0，解出非零向量x（就是这个λ对应的特征向量）。
• 实操（例子继续）：

  1. 对λ₁=4：
     代入A - λI，得到：[[3-4, 1], [1, 3-4]] = [[-1, 1], [1, -1]]
     2维向量[x₁,x₂]）就是方程变为：[[-1, 1], [1, -1]] × [x₁, x₂]ᵀ = [0, 0]ᵀ（x
     展开方程：
     -x₁ + x₂ = 0 → x₁ = x₂
     取最容易的非零解：x₁=1，则x₂=1 → 特征向量x₁ = [1, 1]ᵀ（ᵀ表示转置，行变列）。

  2. 对λ₂=2：
     代入A - λI，得到：[[3-2, 1], [1, 3-2]] = [[1, 1], [1, 1]]
     方程变为：[[1, 1], [1, 1]] × [x₁, x₂]ᵀ = [0, 0]ᵀ
     展开方程：
     x₁ + x₂ = 0 → x₁ = -x₂
     取最简单的非零解：x₁=1，则x₂=-1 → 特征向量x₂ = [1, -1]ᵀ。

步骤3：构造矩阵P和对角矩阵Λ

• 构造P：把所有特征向量作为“列”组成矩阵（M×M矩阵，列数=特征向量个数=M）。
  例子中，x₁=[1,1]ᵀ、x₂=[1,-1]ᵀ，所以：
  P = [[1, 1], [1, -1]]（第一列x₁，第二列x₂）。

• 构造Λ：对角矩阵，对角线位置依次放对应的特征值，其余为0。
  例子中，λ₁=4对应x₁（P的第一列），λ₂=2对应x₂（P的第二列），所以：
  Λ = [[4, 0], [0, 2]]（对角线是λ₁、λ₂，其余为0）。

步骤4：验证分解结果（可选，确保正确）

• 核心：验证A = PΛP⁻¹（逆矩阵P⁻¹的计算：2×2矩阵[[a,b],[c,d]]的逆=1/(ad-bc)×[[d,-b],[-c,a]]）。
• 实操（例子）：
  1. 计算P的逆矩阵P⁻¹：
     P的行列式=1×(-1) - 1×1 = -2 → P⁻¹ = (-1/2)×[[-1, -1], [-1, 1]] = [[0.5, 0.5], [0.5, -0.5]]
  2. 计算PΛP⁻¹：
     PΛ = [[1,1],[1,-1]] × [[4,0],[0,2]] = [[4×1+0×1, 0×1+2×1], [4×1+0×(-1), 0×1+2×(-1)]] = [[4,2],[4,-2]]
     PΛP⁻¹ = [[4,2],[4,-2]] × [[0.5,0.5],[0.5,-0.5]] = [[3,1],[1,3]] = A（和原矩阵一致，分解正确）。

通用步骤总结（M×M矩阵通用）

步骤	核心操作	通俗理解
1	构造A - λI，计算行列式det(A - λI)，解方程det(A - λI)=0，得到M个特征值λ₁~λ_M	找到矩阵A的“缩放倍数”
2	对每个λ_i，解方程组(A - λ_iI)x = 0，得到对应的非零特征向量x_i	找到每个“缩放倍数”对应的“作用方向”
3	特征向量x₁x_M作为列组成矩阵P，特征值λ₁λ_M作为对角线元素组成对角矩阵Λ	把“方向”和“倍数”整理成标准形式
4	（可选）计算P的逆矩阵P⁻¹，验证A = PΛP⁻¹	确认分解结果正确

关键提醒（工程应用中常用）

1. 所有M×M矩阵都能特征值分解！只有“可对角化矩阵”（比如对称矩阵、无重特征值的矩阵）才能分解。就是不
2. 分解的意义：比如计算A的n次幂（Aⁿ），直接算很复杂，但分解后Aⁿ = PΛⁿP⁻¹（Λⁿ只需把对角线特征值取n次幂），大幅简化计算，这在视觉模型的特征提取、数据降维中常用。