回溯求解0-1背包

回溯法本质上是一种深度优先搜索状态空间树的算法。

 

假设不引入剪枝函数(约束函数+限界函数)。则是穷举算法。

 

引入适当的限界函数，剪去已能确信不含最优答案结点的子树，使其成为一种启示式算法。

 

显示约束：xi=1表示将第i件物品装入背包, xi=0表示第i件物品不装入背包。
隐式约束：

 

解空间大小为2n 。

解空间树为高度为n+1的满二叉树。

 

下界函数：变量L初值为0，遇到一个答案结点便计算该答案结点的收益值fp,且令L=max{L,fp}。则L中始终保存迄今为止已经搜索到的答案结点中收益的最大值。0/1背包的最优解值必然大于等于L，因此最优解值的下界预计值为L。

 

限界函数：状态空间树中任一结点X，若其上界函数值bp<最优解值的下界预计值变量L。则可断定X子树上不含最优答案结点。能够剪去以X为根的子树。
剪去不含最优解的分枝【怎么都小于已经搜索到的答案节点收益最大值】

 

上界函数：当前位于状态空间树的结点X处，cw为背包当前重量。cp为当前已装入背包物品的总收益。则贪心法求解剩余载重和剩余物品构成的一般背包问题（物品编号k+1,k+2,...,n-1,载重M-cw）最大收益为rp。则以X为根的子树上全部可能答案结点的目标函数值                     不可能超过bp=cp+rp。因此结点X的上界函数值为bp。

 

例8-4  设有0/1背包n=8, M=110，(w0,w1,...,w7)=(1,11,21,23,33,43,45,55),
(p0,p1,...,p7)=(11,21,31,33,43,53,55,65)。
——按pi/wi非增排列，即pi/wi≥pi+1/wi+1

总结：向左走减去不可行的解的分支【不满足隐形约束的】 向右走减去不含最优解的【就是不管怎样小于L的】

以下给出我的Java代码

public class Packet {
	
	public int []w;
	
	private int m;
	
	private int n;
	
	public int []p;
	
	public int fp;
	
	
	public Packet()
	{
		w=new int[]{30,10,20,50,40};
		p=new int[]{65,20,30,60,40};
	}
	public static void main(String args[])
	{
		Scanner input=new Scanner(System.in);
		Packet p=new Packet();
		int []x=new int [5];
		int []y=new int [5];
		p.m=100;
		p.n=5;
		p.BKnapsack(0, 0, 0, x, y);
		for(int i=0;i<5;i++)
		{
			System.out.println(x[i]);
		}
	}

	public int Bound(int k,int cp,int cw)
	{
		int b = cp, c = cw; // 当前收益cp和当前背包重量cw不变（xk=0）
		for (int i = k + 1; i < n; i++) // 对剩余物品求一般背包问题的解
		{
			c += w[i];
			if (c < m)
				b += p[i]; // 第i个物品能够所有放入
			else
				return b ;
		}
		return b;

	}
	
	
	public void BKnapsack(int k,int cp,int cw,int []x,int []y)
	{
		if (cw+w[k]<=m)	//左子树，需又一次计算约束函数，上界函数无需计算
		   {
			y[k]=1;
			if (k<n-1) 		
			{
				BKnapsack(k+1,cp+p[k],cw+w[k],x,y);
			}
			if (cp+p[k]>fp && k==n-1)	//到最底层
			{	fp=cp+p[k];		//更新最优解下界预计值
				for (int j=0;j<=k;j++) x[j]=y[j];
			}
		   }
		 if (Bound(k,cp,cw)>=fp) //右子树，需又一次计算上界函数。约束函数无需计算
		   {
			y[k]=0;
			if (k<n-1) 		//未究竟
				BKnapsack(k+1,cp,cw,x,y);	
			if (cp>fp && k==n-1)	//到最底层
			{	fp=cp;		//更新最优解下界预计值
				for (int j=0;j<=k;j++) x[j]=y[j];
			}
		   }
	}


}