分治算法-残缺棋盘

 残缺棋盘是一个2^k*2^个方格的棋盘，其中恰有1个方格残缺。图中给出，其中残缺部分用阴影表示。

这样的棋盘称为"三格板"，残缺棋盘问题就是用这四种三格板覆盖更大的残缺棋盘。再次覆盖中要求:

(1)两个三格板不能重复。

(2)三格板不能覆盖残缺棋盘方格，但必须覆盖到其他所有的方格。

算法思路:

利用分治算法将棋盘细化，逐步解决,以4*4为例

首先判断残缺的位置在哪里，然后在中间填上对应的三格板，如在上图中间拼上三角板(4)，变成下面这样

然后通过中间将其分成了4个2*2的小残缺棋盘，从而问题得以解决

4*4的分析过于简单，现在我们以8*8为例进行分析，能更清楚的理解这个例子中分治算法的思想

首先将三格板放置在中间，将其分4个小的4*4的残缺棋盘

通过红色线将其划分成4个4*4的残缺棋盘，现在以左上的残缺棋盘为例

然后将左的4*4的小棋盘右划分成了4个2*2的小棋盘，这样就将问题优化成了2*2的三角棋盘的小问题，这样很快就能将左上的4*4的残缺棋盘解决了

下面继续分析右上的4*4的棋盘，根据残缺的方格在小棋盘中的位置，在中间选择合适的三格板将小的残缺棋盘继续划分，将问题分化成更小的状态

接着的问题和上面一样分析。右上角的小棋盘很快也能解决了，下面两块残缺棋盘的分析方法和上面的一样，整个问题就这样一步步的分解成小问题，然后解决了。

下面是源代码

#include <iostream>

using namespace std;

int amount,Board[100][100];

void Cover(int tr,int tc,int dr,int dc,int size)
{
    int s,t;
    if(size<2)
        return ;
    amount++;
    t=amount;
    s=size/2;
    if(dr<tr+s&&dc<tc+s)//残缺在左上角
    {
        //覆盖中间位置
        Board[tr+s-1][tc+s]=t;
        Board[tr+s][tc+s-1]=t;
        Board[tr+s][tc+s]=t;

        Cover(tr,tc,dr,dc,s);//覆盖左上
        Cover(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);//覆盖右上
        Cover(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);//覆盖左下
        Cover(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);//覆盖右下
    }
    else if(dr<tr+s&&dc>=tc+s)//残缺在右上角
    {
        Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
        Board[tr+s][tc+s-1]=t;
        Board[tr+s][tc+s]=t;

        Cover(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
        Cover(tr,tc+s,dr,dc,s);
        Cover(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
        Cover(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
    }
    else if(dr>=tr+s&&dc<tc+s)//残缺在左下
    {
        Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
        Board[tr+s-1][tc+s]=t;
        Board[tr+s][tc+s]=t;

        Cover(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
        Cover(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
        Cover(tr+s,tc,dr,dc,s);
        Cover(tr+s,tc+s,tr+s,tc+s,s);
    }
    else
    {
        Board[tr+s-1][tc+s-1]=t;
        Board[tr+s-1][tc+s]=t;
        Board[tr+s][tc+s-1]=t;

        Cover(tr,tc,tr+s-1,tc+s-1,s);
        Cover(tr,tc+s,tr+s-1,tc+s,s);
        Cover(tr+s,tc,tr+s,tc+s-1,s);
        Cover(tr+s,tc+s,dr,dc,s);
    }
}

void Print(int s)
{
    for(int i=1;i<=s;i++)
    {
        for(int j=1;j<=s;j++)
            printf("%5d ",Board[i][j]);
        printf("\n");
    }
}

int main()
{
    int s=1,k,x,y;
    printf("输入2残缺棋盘的规模:2^k,k=");
    scanf("%d",&k);
    for(int i=1;i<=k;i++)
        s*=2;
    printf("输入棋盘残缺位置(x,y):");
    scanf("%d%d",&x,&y);
    Board[x][y]=0;
    Cover(1,1,x,y,s);
    Print(s);
    return 0;
}