第2章 数字之魅——不要被阶乘吓倒

不要被阶乘吓倒

问题描述

　　阶乘（Factorial）是个很有意思的函数，但是不少人都比较怕它，我们来看看两个与阶乘相关的问题：

问题1. 给定一个整数N，那么N的阶乘N！末尾有多少个0呢？例如：N＝10，N！＝3 628 800，N！的末尾有两个0。

问题2. 求N！的二进制表示中最低位1的位置。

分析与解法

　　有些人碰到这样的题目会想：是不是要完整计算出N！的值？如果溢出怎么办？事实上，如果我们从"哪些数相乘能得到10"这个角度来考虑，问题就变得简单了。

首先考虑，如果N！= K×10M，且K不能被10整除，那么N！末尾有M个0。再考虑对N！进行质因数分解，N！=（2x）×（3y）×（5z）…，由于10 = 2×5，所以M只跟X和Z相关，每一对2和5相乘可以得到一个10，于是M = min（X, Z）。不难看出X大于等于Z，因为能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数高得多，所以把公式简化为M = Z。

根据上面的分析，只要计算出Z的值，就可以得到N！末尾0的个数。

问题1【解法一】

　　代码如下：

package chapter2shuzizhimei.jiecheng;
/**
 * 不要被阶乘吓到
 * 计算阶乘末尾有几个0
 * 【解法一】
 * @author Dell
 *
 */
public class JieCheng1 {
    /**
     * 计算阶乘末尾0的个数
     * @param n 计算n！
     * @return 末尾0的个数
     */
    public static int count(int n){
        int num = 0; //记录末尾0的数量，也即5的次方数(由于2的次方数>=5的次方数)
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int j = i;
            while(j%5==0){
                num++;
                j /= 5;
            }
        }
        return num;
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 10;
        System.out.println(n+"！末尾0的个数为："+count(n));

    }

}

程序运行结果如下：

10！末尾0的个数为：2

问题1【解法二】

　　代码如下：

package chapter2shuzizhimei.jiecheng;
/**
 * 不要被阶乘吓到
 * 计算阶乘末尾有几个0
 * 【解法二】
 * @author Dell
 *
 */
public class JieCheng2 {
    /**
     * 计算阶乘末尾0的个数
     * @param n 计算n！
     * @return 末尾0的个数
     */
    public static int count(int n){
        int num = 0; //记录末尾0的数量，也即5的次方数(由于2的次方数>=5的次方数)
        while(n!=0){
            num += n/5;
            n = n/5;
        }
        return num;
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 10;
        System.out.println(n+"！末尾0的个数为："+count(n));

    }

}

程序运行结果如下：

10！末尾0的个数为：2

问题2：求N！的二进制表示中最低位1的位置

‍分析与解法：

　　乍一看，似乎，问题二与问题一没什么关系。然而，我们换一个角度思考，二进制中最低位1后面肯定是0，那么这里求最低位1的位置，即为求最低位1后面0的个数，而这，就和问题一是一样一样的，只不过一个是十进制表，一个是二进制表示。这里，所有小于N的数中，2的倍数都贡献一个0，4的倍数再贡献一个0，以此类推。

最关键：由于二进制表示其实是以2为基的表示，每出现一个2，末尾才会有一个0。所以只要找到N!中因子2的个数。

 　　所以，这个问题实际上等同于求N！含有质因数2的个数。即答案等于N！含有质因数2的个数加1。

　　由于N! 中含有质因数2的个数，等于 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + … ，根据上述分析，得到具体算法，如下所示：

package chapter2shuzizhimei.jiecheng;
/**
 * 不要被阶乘吓倒
 * 【问题二】求n！的二进制表示中最低位1的位置
 * 【解法一】
 * @author DELL
 *
 */
public class JieCheng1 {
    /**
     * 计算n！的二进制表示中最低位1的位置
     * @param n
     * @return 位置（从后向前数）
     */
    public static int locate(int n){
        int num = 1;  //记录n！中质因数2的个数+1
        while(n!=0){
            n >>= 1;
            num += n;
        }
        return num;
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 3;
        System.out.println("n！的二进制表示中最低位1的位置为："+locate(n));
    }

}

程序运行结果如下：

n！的二进制表示中最低位1的位置为：2

【问题2的解法二】

N！含有质因数2的个数，还等于N减去N的二进制表示中1的数目。我们还可以通过这个规律来求解。

下面对这个规律进行举例说明，假设 N = 11011（二进制表示），那么N!中含有质因数2的个数为 N/2 + N/4 + N/8 + N/16 + …

即： 1101 + 110 + 11 + 1
=（1000 + 100 + 1）
+（100 + 10）
+（10 + 1）
+ 1
=（1000 + 100+ 10 + 1）+（100 + 10 + 1）+ 1
= 1111 + 111 + 1
=（10000 -1）+（1000 - 1）+（10-1）+（1-1）
= 11011-N二进制表示中1的个数

于是有如下算法：

package chapter2shuzizhimei.jiecheng;
/**
 * 不要被阶乘吓倒
 * 【问题二】求n！的二进制表示中最低位1的位置
 * 【解法二】
 * @author DELL
 *
 */
public class JieCheng2 {
    /**
     * 计算n！的二进制表示中最低位1的位置
     * @param n
     * @return 位置（从后向前数）
     */
    public static int locate(int n){
        int m = n;
        int num = 0;  //记录n的二进制表示中1的个数
        while(m!=0){
            num += m&0x01;
            m >>= 1;
        }
        
        return n-num+1;
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 3;
        System.out.println("n！的二进制表示中最低位1的位置为："+locate(n));
    }

}

程序运行结果如下：

n！的二进制表示中最低位1的位置为：2

小结

　　任意一个长度为m的二进制数N可以表示为N = b[1] + b[2] * 2 + b[3] * 22 + … + b[m] * 2(m-1)，其中b [ i ]表示此二进制数第i位上的数字（1或0）。所以，若最低位b[1]为1，则说明N为奇数；反之为偶数，将其除以2，即等于将整个二进制数向低位移一位。

相关题目

　　给定整数n，判断它是否为2的方幂（解答提示：n>0&&（（n&（n-1））==0））。

　　该题目实际就是判断n的二进制表示中是否只有一个1，比较好的算法如下：

package chapter2shuzizhimei.jiecheng;
/**
 * 不要被阶乘吓倒
 * 【相关问题】给定整数n，判断它是否为2的方幂
 * @author DELL
 *
 */
public class JieCheng3 {
    /**
     * 判断n是否为2的方幂
     * @param n
     * @return
     */
    public static boolean isThePower2(int n){
        if(n>0&&(n&(n-1))==0){
            return true;
        }else{
            return false;
        }
    }
    public static void main(String[] args) {
        int n = 5;
        if(isThePower2(n))
            System.out.println(n+"是2的方幂！");
        else
            System.out.println(n+"不是2的方幂！");
    }

}

程序运行结果如下：

5不是2的方幂！