145.DS--第六章

查找

前面的数据结构基本介绍完了后续就是关于方法查找和排序
查找方法就是插入和删除的前提
查找顾名思义就是找元素
看几个概念后续用到的：

关键字：唯一标识元素的某个数据项的值
平均查找长度(ASL)：查找关键字比较次数的加权平均值 (衡量查找算法效率的核心指标)
查找表：只涉及查找无须动态修改即静态查找表否则即动态查找表

一.线性结构(顺序折半分块查找)

先看顺序查找(线性查找)

适应于顺序表/链表
无序/有序

假设线性表是无序的顺序查找

就是从一端开始挨个找直到找到到另一端若没找到就失败

我们看算法实现

int Search_Seq(SSTable ST,ElemType key){
	ST.elem[0]=key;    //哨兵
	for(int i=ST.TableLen;ST.elem[i]!=key;--i);
	return i;
}

上述是从后往前找引入哨兵就是为了防止重复判断是否越界
其实就是省去了边界判断提高效率

看其ASL(查找每个元素的概率相等)

之前概念提过 ASL主要就是比较次数

可以看出当数据量大的时候效率就低只用于顺序表

再看有序的线性表顺序查找

比如这个例子有序的线性表可以看作一棵二叉排序树

关于其ASL

适用于顺序表和链式存储

看一道题目

折半查找(二分查找)

仅适用于关键字有序的顺序表
原理很多跟有序线性表的顺序查找相似

比如举个例子就能搞懂

比如找元素8

上下界然后通过mid找中间就可以直接折半找

每次查找采用相同的取整方式

int Binary_Search(SSTable L,ElemType key){
	int low=0,high=L.TableLen-1,mid;
	while(low<=high){
	mid=(low+high)/2;
	if(L.elem[mid]==key) return mid;
	if(L.elem[mid]>key) high=mid-1;
	else low=mid+1;
	}
	return -1;
}

这个很好理解不过多阐述过程了

我们通过此例题来分析一下ASL

ASL成功：根结点到目的结点路径上的结点数
ASL失败：根结点到对应失败结点父结点路径上的结点数

两者所除的分母不同前者是成功结点就是存在的后者是失败的不存在树中的结点

核心就是折半查找判定树是一棵平衡二叉树
后续讲解平衡二叉树

时间复杂度

效率高于顺序查找

再次强调只适用于有序的顺序表

再看关于比较次数

看判定树通过判定树来分析

分块查找(索引顺序查找)

块内元素可以无序块间元素必须有序
很好理解先找到对应的块然后再在块内找

它的ASL

当块大小取根号n的时候最优

虽然索引占一定存储空间但分块结构限制了块内查找的范围所以效率仍然高于普通顺序查找

找出块数和每块的记录数套公式

二.树形查找(二叉排序树平衡二叉树红黑树 B(+)树)

这节比较重量级
一个一个来看

1.二叉排序树 BST

也叫做二叉查找树动态查找插入删除
前面介绍过特点就是：关键字

左子树<根
根<右子树
依次类推
中序遍历可以得到有序关键字序列
然后来探讨构造查找插入删除

通过一道题来看构造

ABD选项一样我们就以C来分析

void Creat_BST(BiTree &T,KeyType str[],int n){
	T=NULL;
	int i=0;
	while(i<0){
	BST_Insert(T,str[i]);
	i++;
	}
}

再来看插入操作

比如一棵空二叉排序树依次插入80 60 90

依次类推继续这样插入最终满足BST的要求即可

int BST_Insert(BiTree &T,KeyType k){
	if(T=NULL){
	T=(BiTree)malloc(sizeof(BSTNode));
	T->data=k;
	T->lchild=T->rchild=NULL;
	return 1;
	}
	else if(k==T->data) return 0;
	else if(k<T->data) return BST_Insert(T->lchild,k);
	else return BST_Insert(T->rchild,k);
}

插入的元素除了空的时候一定是叶结点

二叉排序树删除操作
有限制：

如果是叶子结点直接删
如果删除的只有一棵子树删掉它后用那棵子树上移
如果删除的有两棵子树则通过中序序列找到后驱(前驱)替代然后后面采用第二种方式调整

比如还以那道构建题为例

查找过程很简单：从根开始找比根大就往右子树找比根小就往左子树找依次类推直到找到或没有

BSTNode *BST_Search(BiTree T,ElemType key){
	while(T!=NULL&&key!=T->data){
	if(key<T->data) T=T->lchild;
	else T=T->rchild;
	}
	return T;
}

也可以采用递归实现但递归栈需要消耗存储空间效率低

二叉排序树查找效率分析

静态就采用顺序表频繁插入删除动态就采用二叉排序树

2.平衡二叉树 AVL

前面所有的疑问在这儿都将解开
关于定义就一句话：任意结点的左右子树高度差绝对值不超过1
这里引入一个概念：平衡因子=左右子树高度差值为1 0 -1

怎么说来看

平衡二叉树可为空

通过上图可以看出关于平衡二叉树的查找很简单
就取决于树深度

平均查找时间复杂度

结点数最多情况就是满二叉树

难点在于插入删除因为插入或删除后依旧需要维持它是一棵平衡二叉树

先看插入规则：

LL 左左 1->2 右单旋转
RR 右右 -1->-2 左单旋转
LR 左右 1->2 先左旋再右旋
RL 右左 -1->-2 先右旋再左旋

来通过题理解

先右旋

然后再左旋

注意几点：一般这个二叉树本身是二叉排序树然后再构造平衡二叉树
左右子树高度差而不是左右子树结点数差
构造过程本质就是插入的过程

还不懂？再来一道从头构建的题目理解

再看平衡二叉树的删除
操作本质就是插入的操作
删除后看如何调整二叉树继续维持成平衡二叉树

我们通过一道题来理解

其他不再做例子其实删除本质也跟插入的操作一样采取插入的规则进行调整使其维持平衡二叉树

3.红黑树

这是一个难点后续用一篇文章结合代码来专门研究这个
参考：https://www.cnblogs.com/gaodiyuanjin/p/20072531

4.B(+)树

重点了解B树
定义：自平衡的m路查找树所有叶结点位于同一层次

同样可为空树 m阶B树

每个结点至多m棵子树至多包含m-1个关键字
任意结点子树个数=其关键字个数+1
除根结点和叶结点外至少有向上取整m/2棵子树至少关键字向上取整m/2-1
所有叶结点位于同一层次
结点中的关键字从左到右递增
根结点不是叶结点的话至少2棵子树至少包含1个关键字
具体构造的样子我们在后面插入和删除来看
先来看看算B树结点数

通过上述公式可得最小/大高度或求出最多/少结点
注意公式中的n是关键字个数不是结点数
还有就是求出来的高度不包括叶结点所在的那一层

看题

任意结点子树个数=其关键字个数+1

这道题目就可以套公式了

得出高后还有关键字数限制

磁盘存取次数和B树的高度密切相关注意一点B树高度不包括最底层外部叶结点所处那一层所以-1

通过这道题也可以看出B树的一些性质
最多包含3-1=2个关键字任意结点子树个数=其关键字个数+1
根结点至少2棵子树至少1个关键字
除根叶结点外至少向上取整3/2=2棵子树至少含关键字向上取整3/2-1=1个关键字

前面已经含沙射影的介绍了B树的查找
两个操作：

1.在磁盘上找目标结点
2.在内存中的结点内查找关键字
磁盘查找次数即B树高度就是决定查找效率的关键因素

其实关于插入删除就一个核心-关键字数的变化：

B树的插入：

插入后关键字数没超过m-1那就好说超了就需要分裂

分裂

上述操作都是在关键字插入后进行的

这个过程清楚弄懂插入然后关键字数超了分裂的情况

B树的删除：
这个操作比较复杂
核心就是关键字个数不少于下限

换位：删除后父子换位兄弟父节点调整
合并：删除后一个兄弟结点及父节点分隔它们的关键字合并

搞懂下面这道题就行

注意这里合并的就是左/右兄弟结点+父结点中分隔它们的+剩下的结点

换位容易理解

这里的操作都是关键字插入前
插入删除构造的过程本质类似还是二叉排序树

至于B+树简单阐述一下：

n个关键字结点有n棵子树
关键字数量范围不同
关键字存储位置不同
结点功能不同
支持顺序查找
还有就是查找无论成功与否每次查找都对应一条从根结点到某个叶结点的路径

因为涉及不多不过多阐述

三.散列表(哈希表)

将关键字映射到其对应存储地址的函数
我们还需要弄懂几个概念：

冲突：两个或两个以上的不同的关键字映射到同一地址
同义词：发生冲突的不同关键字
散列表查找的时间复杂度为O(1) 与表中元素的个数无关

先看散列函数的构造：

直接定址法：H(key)=a*key+b 线性适合关键字分布基本连续简单不会产生冲突
除留余数法：H(key)=key%p 常用选择一个不超过散列表长m且尽可能接近m的指数p
数字分析法：使用进制数码适用于已知且固定的关键字集合
平方取中法：取关键字平方值中间几位作为散列地址用于关键字取值分布不均或位数少

任何散列函数都无法绝对避免冲突

处理冲突的方法：

开放定址法
拉链法

我们先看开放定址法其实就是应用散列表中所有空闲地址
又可以分为：

线性探测法(线性探测再散列法)：就一个一个往后找空闲容易发生聚集(堆积)现象
平方探测法(二次探测法)：增量序列 1² -1² 2² -2²... 无法探测所有位置
双散列法：使用两个散列函数第一个若冲突就用第二个函数计算增量
伪随机序列法：增量序列是一个伪随机数生成器产生

注意：采用开放定址法不能直接物理删除表中已有的元素而是逻辑删除

拉链法就是将同义词组织成一个链表
适合频繁插入删除场景

几道题目看一下应用：

拉链法的应用

注意按照概念是错误应该是H(key)%17

再看一下关于ASL的查找成功失败分析
三步走：

1.表长画出来
2.找对应函数位置
3.解决冲突

顺带配合之前综合总结

注意看p 就算范围那些的比较次数

再配合看一个删除注意是逻辑删除

还有一个补充：装填因子

一道综合题：
这道题目关键是看清楚解决冲突的时候始终是从H0开始加的
还有就是查找一个关键字失败就是定位到空位置说明失败了

先看第一题整理出来

然后第二题就是带进去找
(14*3)%11=9 3
(9+1)%11=10 18
(9+2²)%11=2 14 所以序列为{3,18,14}
第三题

综上有个小疑问关于解决冲突的方式是

注意是让得到的地址去加而不是关键字去加这是概念紧扣即使答案正确所以上述有一些题目解法并非是正确的但可以做出来

按照大纲其实还应该有：字符串模式匹配后续专门出一篇补充参考https://www.cnblogs.com/gaodiyuanjin/p/20094810

posted @ 2026-05-18 17:00 蒸饺阅读(15) 评论(0) 收藏举报

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查找

一.线性结构(顺序折半分块查找)

折半查找(二分查找)

分块查找(索引顺序查找)

二.树形查找(二叉排序树平衡二叉树红黑树 B(+)树)

1.二叉排序树 BST

2.平衡二叉树 AVL

3.红黑树

4.B(+)树

三.散列表(哈希表)

公告

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一.线性结构(顺序 折半 分块查找)

折半查找(二分查找)

分块查找(索引顺序查找)

二.树形查找(二叉排序树 平衡二叉树 红黑树 B(+)树)

1.二叉排序树 BST

2.平衡二叉树 AVL

3.红黑树

4.B(+)树

三.散列表(哈希表)

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