高精度算法

高精度算法

1. 高精度算法类型

    高精度算法主要分为四种：
        1.  高精度加法
        2.  高精度减法
        3.  高精度乘法
        4.  高精度除法

    对于高精度加法和减法来看，相加的两个数的位数都<=10的6次方。
    对于高精度乘法和除法，一般都是一个大的数乘或除一个小的数。大数的位数<=10的6次方，小数的数值一般<=10000。（注意这里位数和数值的区别）
    具体的细节，可以查看上述的图例。
    接下来，我们依次对这四种算法进行讲解。

    值得注意的是：只有c/c++需要考虑高精度问题。对于java和python语言来讲不需要考虑高精度问题。因为java有专门的大整数/大浮点数类来完成高精度计算，并不需要自己实现。而python也内置了对应的算法，同样不需要自己动手实现。

2. 高精度加法思想

    在进行大数相加之前，我们需要考虑一个核心问题：如何将大数存储下来？
        方案一：如果我们采用int类型来存储的话，一定会爆掉。因为数的位数<=10的6次方，这是一个非常恐怖的大小。哪怕使用unsigned long long 都未必能存下。因此，我们不考虑用数值类型来存储。
        方案二：我们使用数组来存储数的每一位。如果我们将数组的大小开到<=10的6次方的话，只需要声明数组number[1000000]即可。因此，使用数组存储是非常明智的选择。

    当我们使用数组来存储大数时，还要注意一个问题：给定一个数字：123456789，我们应该要把这个数字的最高位放在数组下标为0的位置，还是要把这个数字的最低位放在数组下标为0的位置呢？
        方案一：将数字的最高位放在数组下标为0的位置，这样的话：123456789分别对应数组下标012345678。若如此做，假设当两个数字相加的话，我们难免需要进位。如果产生了进位，我们需要将整个位数均往后挪动一位之后，再能存下进位的数字。这样是很麻烦的。
        方案二：将数字的最低位放在数组下标为0的位置，这样的话：123456789分别对应数组下标876543210。若如此做，假设当两个数字相加的话，我们难免需要进位。如果产生了进位，我们只需要将进位的数字放在数组的最后面即可。并不需要挪动所有的位数，这样就非常简单了。

    知道了上述的存储过程之后，我们接下来阐述一下高精度加法的思路：
        1.  假设给定一个大数A和大数B。大数A的位数在数组中为：A3 A2 A1 A0(注意低位在前，高位在后)，大数B的位数在数组中为：B2 B1 B0。
        2.  遍历数组，从低位开始进行相加：如果Ai + Bi >= 10,那么就需要进位。此时我们应该要让进位设置为1。否则，进位=0。
        3.  在相加的过程中，我们如何存储结果呢？很简单，如果存在来自上一位的进位，此时结果：(Ai + Bi + 1) % 10 即可。因为每一位都为0-9，不会超过10。如果不存在来自上一位的进位，此时结果：(Ai + Bi) % 10 即可。将结果放在新的数组中按照上述的存储顺序存储即可。
        4.  在相加的过程中，如果两个大数位数不对等怎么办？很简单，对于不存在的位数，直接按照0处理即可。换句话来说：对于上述案例：A的位数：A3 A2 A1 A0 那么,B的位数：0 B2 B1 B0。按照这种形式相加即可。

3. 高精度加法模板

// C = A + B, A >= 0, B >= 0
vector<int> add(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() < B.size()) return add(B, A);

    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size(); i ++ )
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size()) t += B[i];
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }

    if (t) C.push_back(t);
    return C;
}

4. 高精度加法例题

    https://www.acwing.com/problem/content/793/

//这里采用了vector容器
//也可以使用数组来进行替代，只需要额外记录长度即可
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <vector>

using namespace std;

vector<int> add(vector<int> &A,vector<int> &B){
    vector<int> C;
    //代表进位
    int t = 0;
    for(int i = 0;i < A.size() || i < B.size();i ++){
        //计算A[i] + B[i] + t
        if(i < A.size()){
            t += A[i];
        }
        if(i < B.size()){
            t += B[i];
        }
        //将结果放在大数C中
        C.push_back(t % 10);
        //查看是否进位
        t /= 10;
    }
    //如果相加完之后，发现仍有进位，那么放在大数C的最高位即可
    if(t == 1){
        C.push_back(1);
    }
    return C;
}

int main(){
    //由于数字很大，因此字符串接收
    //通过遍历字符串，将每位数字放在数组里
    string a,b;
    cin >> a >> b; // a = "123456"
    vector<int> A;
    vector<int> B;
    //按照规定次序放在数组里
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0;i --){ // A = [6,5,4,3,2,1]
        A.push_back(a[i] - '0');
    }
    for(int i = b.size() - 1; i >= 0;i --){
        B.push_back(b[i] - '0');
    }
    vector<int> C = add(A,B);
    //将相加后的大数按照倒序输出
    for(int i = C.size() - 1; i >= 0; i--){
        printf("%d",C[i]);
    }
    
    return 0;
}

//c语言写法
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>

using namespace std;

char A_str[1000010];
int A[1000010];

char B_str[1000010];
int B[1000010];

int C[1000010];

int a_len,b_len,c_len;

void add(int A[],int B[]){
    //代表进位
    int t = 0;
    for(int i = 0; i < a_len || i < b_len; i++){
        if(i < a_len){
            t += A[i];
        }
        if(i < b_len){
            t += B[i];
        }
        C[c_len++] = t % 10;
        t /= 10;
    }
    if(t == 1){
        C[c_len++] = 1;
    }
}


int main(){
    scanf("%s%s",A_str,B_str);
    //将字符串转换为数字
    a_len = strlen(A_str);
    b_len = strlen(B_str);
    int cnt = 0;
    for(int i = a_len - 1; i >= 0; i--){
        A[cnt++] = A_str[i] - '0';
    }
    cnt = 0;
    for(int i = b_len - 1; i >= 0; i--){
        B[cnt++] = B_str[i] - '0';
    }
    add(A,B);
    for(int i = c_len - 1; i >= 0;i --){
        printf("%d",C[i]);
    }
    return 0;
}

    作者：gao79138
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