BIT（树状数组）——求逆序对数

既然上次我写了一个归并排序求逆序对的方法，而且以前也写过一个BIT基础的教程，那么这次我们就来讲一下逆序对的另一种求法——使用BIT求解逆序对数。

逆序对是这样定义的：如果i < j 并且ai > aj 那么这就叫一个逆序对。不难看出，其实我们可以用离散化的方法来做。但是离散化后，就一定要使用BIT去求解了。

我们的BIT的基础函数还是不变的，但是要操作别的东西达到我们求解逆序对数的目的：

1 首先对于将数字离散化，这个我们是需要用到排序的，我们需要使用数字的大小来记录这个数本来在第几位，以及这个数在求逆序对之前应该在第几位，那我们就要用到algorithm库中的sort函数（Pascal只能手写函数，对此我表示我很同情学P的同学们），相信大家也应该会使用struct，所以呢，这里附上代码，毕竟代码才是真理。

struct edge{
    int v,pos;
}in[100010]; // 定义
bool cmp(edge a,edge b){
    return a.v < b.v;
}

    for(int i = 1;i <= n;++i){
        cin >> in[i].v;
        in[i].pos = i;
    }
    sort(in+1,in+n+1,cmp);

2. 对于离散化后的数据（按照顺序保存），我们要对其进行操作，加装一个新的数组（按位置保存的数组），然后算每个数据在整个数据中应该排第几位（注意，题目有可能出现ai = aj，所以要手工计算，而不能排完序就一撒手，然后记录下来原先在哪个位置的数据现在在那个位置，需要重新进行循环计算，看看这个数据到底在哪个位置上）；

3.以上操作完成以后，我们的记录工作便完成了，接下来就是使用BIT来计算了：执行从1到n的循环，对于每一个aa[i]执行加一操作，不记录在aa数组中，只在c数组中进行计算，然后接着ans要加上i-query（aa[i]）（这是关于原先第i位的数的逆序对的个数，query（aa[i]）是指在i之前比a小的数的个数，此处比较难懂，请读者自己想一想，因为我也是说不清楚到底过程是怎样的，但是我个人认为还是自己思考的要好一些），之后累加在一个ANS变量中，ANS最终就是我们所求的逆序对数

现在我们来说一下这个算法的时间复杂度上的问题，事实上这个代码的时间复杂度和归并排序求逆序对数是相同的都是O（nlogn）。因为每次BIT的基本操作的时间复杂度都是O（logn），然后我们在主程序中循环求解中循环了n次，所以时间复杂度就相当于O（nlogn），这个代码比较好写，但是就是很难懂，如果大家习惯了归并排序求逆序对的操作后，这个方法我建议涉猎一下，但是还是不要写自己拿不稳的程序，以免程序出错。

代码才是真理，一切嘴上说的都是空虚的，附上代码——（建议大家先背代码，然后再去逐步理解，毕竟代码很难懂，我自己都想了1个月左右才刚刚有点理解）：

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define lowbit(x) x&-x
using namespace std;
int n;
long long ans;
int c[100010];
struct edge{
    int v,pos;
}in[100010];
bool cmp(edge a,edge b){
    return a.v < b.v;
}
long long aa[100010];
int query(int x){
    long long ret = 0;
    while(x > 0){
        ret += c[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return ret;
}
void add(int x,int d){
    while(x <= n){
        c[x] += d;
        x += lowbit(x);
    }
}
int main(){
    cin >> n;
    ans = 0;
    memset(aa,0,sizeof(aa));
    memset(c,0,sizeof(c));
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        cin >> in[i].v;
        in[i].pos = i;
    }
    sort(in+1,in+n+1,cmp);
    int reflect = 0;
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        if(in[i].v != in[i-1].v)reflect++;
        aa[in[i].pos] = reflect;
    }
    for(int i = 1;i <= n;++i){
        add(aa[i],1);
        ans += i - query(aa[i]);
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

如果有读者看不懂其中的ADD和QUERY函数的，请去我的博客中看树状数组的基础讲解。这次的讲解就到这里，NOIP又来了，祝同学们能考一个好成绩吧。