稳定婚姻问题

 

著名的稳定婚姻问题是美国数学家、经济学家Lloyd Stowell Shapley（1923－）提出的。下面介绍一下背景：

某单位有n个姑娘W1，W2，……，Wn和n个小伙M1，M2……，Mn。每位姑娘对所有小伙有一个满意度排序，每位小伙对所有姑娘也有一满意度排序。

M1：W2 >W1>W3          W1：M1> M3> M2

M2：W1 >W2>W3          W2：M3> M1> M2

M3：W1> W2>W3          W3:  M1> M2> M3

定义：一组婚姻状态称为稳定（stable）的，若不存在配对(Mi,Wj)和(Ms,Wt)，使得在Mi心中Wt优于Wj，而在Wt心中Mi优于Mt（此时考虑小三成功率为100%……）。

例：稳定婚姻              不稳定婚姻

(M1,W1)                   （M1，W1）

(M2,W3)                    (M2，W2)

(M3,W2)                    (M3，W3)  因为W2心中M1>M2,   M1心中W2>W1

现求使n个姑娘和小伙配成稳定婚姻。

直接上算法……：配成稳定婚姻的一种算法（“男士选择，女士决定”）

1、每位男士都选择他最钟爱的女士。

2、如果有女士被两位或者以上的男士选择，则这几位男士中除了她最喜欢的之外，对其他男士都表示拒绝。

3、被拒绝的那些男士转而考虑他（们）的除被拒绝之外的最满意女士。

4、如果存在冲突（包括和之前选择某女士的男士发生冲突），则再由相应的女士决定拒绝哪些男士。

以上过程持续进行，直至不再出现冲突为止。

不论每人的偏好顺序为何，稳定婚姻总是存在，且用上述算法可在内找到一组稳定婚姻。（严格证法较为繁琐，不过验证还是很好验证的，也比较好直观理解）

同理，“女士选择，男士决定”算法也可找到一组稳定婚姻。

 

下面讨论所有稳定婚姻中的最优性

• 称一组稳定婚姻是男方最优的，如果在该组婚姻中，每位男士都认为其配偶不比任何一组稳定婚姻中他的配偶来的差。

• 男方最优的稳定婚姻是唯一的，同时必是女方最劣的。

• “男士选择，女士决定”算法给出的总是一组“男方最优” 的稳定婚姻。（比较容易理解）

 

稳定婚姻问题的应用

• 稳定婚姻（stable marriage）及衍生问题在理论上具有重要的意义，在实践中发挥了巨大的作用。

• 申请式学校录取

• 用人单位与求职者双向选择

• 选择不同类型的算法可满足保护不同群体利益的要求

启示

1、由稳定婚姻问题可以看出，男女双方层次越接近，婚姻稳定程度越高，否则容易出现类似“跳槽”的现象

2、由给出的算法可以看出，“男士选择，女士决定”的算法得出的结果是男士最优，女士最劣，因此可以得出结论，在此问题中，选择权的好处大于决定权，因此在过程中越主动，越占优……

所以……