HDU 1452 Happy 2004

设S(x)表示x的因子和。则题目求为:S(2004^X)mod 29
因子和S是积性函数,即满足性质1。

性质1 ：如果 gcd(a,b)=1  则 S(a*b)= S(a)*S(b)
2004^X=4^X * 3^X *167^X
S(2004^X)=S(2^(2X)) * S(3^X) * S(167^X)

性质2 ：如果 p 是素数 则 S(p^X)=1+p+p^2+...+p^X = (p^(X+1)-1)/(p-1)
因此：S(2004^X)=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (167^(X+1)-1)/166
167%29 == 22
S(2004^X)=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (22^(X+1)-1)/21

性质3 ：(a*b)/c %M= a%M * b%M * inv(c)
其中inv(c)即满足 (c*inv(c))%M=1的最小整数,这里M=29
则inv(1)=1，inv(2)=15，inv(22)=15

有上得：
S(2004^X)=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)/2 * (22^(X+1)-1)/21
=(2^(2X+1)-1) * (3^(X+1)-1)*15 * (22^(X+1)-1)*18

 AC code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

int _pow( int a, int n )
{
    int b = 1;
    while( n > 1 )
        if( n % 2 == 0 )
        {
            a = ( a * a ) % 29;
            n /= 2;
        }
        else
        {
            b = b * a % 29;
            n--;
        }
        return a * b % 29;
}
int main()
{
    int X;
    int a, b, c;
    while( cin >> X, X )
    {
        a = _pow( 2, 2 * X + 1 );
        b = _pow( 3, ( X + 1 ) );
        c = _pow( 22, ( X + 1 ) );

        cout << ( a - 1 ) * ( b - 1 ) * 15 * ( c - 1 ) * 18 % 29 << endl;
    }
    return 0;
}