不同路径

1.问题描述

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为“Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为“Finish”）。

问总共有多少条不同的路径？

例如，上图是一个7 x 3 的网格。有多少可能的路径？

示例 1:

输入: m = 3, n = 2
输出: 3
解释:
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。

1. 向右 -> 向右 -> 向下
2. 向右 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向右

示例 2:

输入: m = 7, n = 3
输出: 28

提示：

• 1 <= m, n <= 100
• 题目数据保证答案小于等于 2 * 10 ^ 9

2.求解

排列组合

代码如下

    /*
    执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00% 的用户
	内存消耗：35.1 MB, 在所有 Java 提交中击败了87.21% 的用户
	*/
    public int uniquePaths(int m, int n) {
        if(m > n){
            return uniquePaths(n, m);
        }
        long ans = 1;
        for(int x = n, y = 1; y < m; x++, y++){
            ans = ans * x / y;
        }
        return (int) ans;
    }

• 时间复杂度：O(min(m,n))

• 空间复杂度：O(1)

动态规划

• 我们使用i，j来表示从左上角走到(i, j)所走的步数，其中i < m，j < n

• 每次只能向下或者向右走一步，向下走一步那么会从(i - 1, j)走来，向右走一步会从(i, j - 1)走来

  于是得出动态规划方程

  dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]

• 对于第一行 dp[0][j]，或者第一列 dp[i][0]，由于都是在边界，所以只能为 1

代码如下

    /*
    执行用时：0 ms, 在所有 Java 提交中击败了100.00% 的用户
	内存消耗：35.3 MB, 在所有 Java 提交中击败了71.93% 的用户
	*/
	public int uniquePaths(int m, int n) {
        int[][] dp = new int[m][n];
        for(int i = 0; i < m; i++){
            dp[i][0] = 1;
        }
        for(int i = 0; i < n; i++){
            dp[0][i] = 1;
        }
        for(int i = 1; i < m; i++){
            for(int j = 1; j < n; j++){
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
            }
        }
        return dp[m - 1][n - 1];
    }

• 时间复杂度、空间复杂度均为O(m * n)

使用滚动数组优化的动态规划