数据结构之树
导读
树是一种非线性的数据结构，树结构的应用十分广泛，在很多算法中都有应用。本文对树这种数据结构进行了总结。
目录
1、树的定义
2、树的基本术语
3、树的存储结构（3种）
4、树和森林转化为二叉树
5、树和森林的遍历（树两种、森林两种）
树的定义
树结构可以说是我们日常生活中“树”的一种抽象，树只有一个根，其余都是树的枝叶，数据结构中的树类似一颗“倒立”的树，如下：
这颗树是由若干结点（A~Q）组成，所以树是由唯一的根结点和互不相干的若干子树组成。树的定义：由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。
当结点数n=0时，称为空树，这是一种特殊状态。由上可知，树的定义是递归的，即在整颗树中，若干子树也是树的定义。
树的基本术语
以上图为例进行说明。（这些概念不必死记，很好理解）
结点：A~Q都是结点，结点不仅包含了数据元素，还包含了指向子树的分支信息，如A结点就包含了6个分支信息。（类似链式存储中的结点，既有数据域，又有指针域）。
结点的度：结点拥有的子树个数（或分支个数）。如A结点的度为6，B结点的度为0。
树的度：树中各个度的最大值。如该树的度就是A结点的度，为6。
叶子结点：度为0的结点。如B、C、H、I、K、L、M、N、P、Q都是树的叶子结点。
孩子：结点子树的根结点称为孩子。如E的孩子I和J。（所以叶子结点莫有孩子）
双亲：与孩子的定义对应，如E的孩子I和J，那么反过来，I和J的双亲就是E。
兄弟：同一双亲的孩子互相称为兄弟，比如P和Q。
祖先：从根结点到某结点的路径上的所以结点，都是该结点的祖先，如路径：A-E-J-Q，那么Q的结点的祖先就是A、E、J。
子孙：和祖先对应，以某结点作为根结点的所有子树的结点都是该结点的子孙，如路径：A-E-J-Q，那么A的子孙就是E、J、Q。
层次：从根开始为第一层，根的孩子为第二层，根的孩子的孩子为第三层，依次类推。可以理解为家族树中的辈份概念，所有该树有4层。
树的高度：或称为树的深度，表示树中结点的最大层次即为树的高度，例如该树的高度为4。（注意和树的度加以区分）。
结点的高度和深度：两个相反地概念，结点的高度是从叶子结点开启计算层数，而结点的深度是从根结点开始计算层数。例如B的高度为：3，深度为2。
堂兄弟：双亲在同一层的的结点互称为堂兄弟。
有序树：树中结点的子树从左往右是有次序的，不能交换，这样的树称为有序树。（类似兄弟有长幼之分，兄必须在左，第必须在右）。
无序树：与有序树对应，子树的的左右顺序可以交换的树。
丰满树：即理想平衡树，除了最底层外其他层都是满的（即叶子结点全部在最底层的树）。
森林：若干互不相交的树组成的集合称为森林。
树的存储结构
为了方便讲解，我们使用下图作为案例树进行说明。
1、双亲存储结构
我们利用树的双亲唯一的这个特点，存储每个结点时只需要存储自身数据和双亲即可完成整颗树的存储，这就是双亲存储的原理。双亲存储结构是一种树的顺序存储结构，使用二维数组即可实现。在存储时我们先从上往下、从左往右依次为树结点标上序号，这个序号也代表数组的角标，这个角标就用来表示这个结点的索引。
ps:双亲存储结构在克鲁斯卡尔算法中有重要应用。
2、孩子储存结构
除了围绕双亲来存储我们还可以围绕孩子来存储树，但是树中每个结点可能有多棵子树，可以考虑用多重链表，即每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根结点，我们把这种方法叫做多重链表表示法（或说孩子存储法）。
孩子存储结构的结点设计如下：
对于结点的设计，有两种方案可选：
方案一：每个结点都设计对应的结构。
如A结点有两个孩子，所以A的指针域就设计为两个；C结点只有一个孩子，所以指针域就设计为1个；以此类推。上图案例的树就可以设计为：
缺点：这样设计有个很明显的缺点，如果有很多结点的结构都不一样，那么就要设计多种结点结构来保存结点信息，这样不利于统一管理。
方案二：针对方案一的缺点，我们应该将树的结点结构统一（统一的关键在于指针域数量的统一），比如A有两个孩子，而C有一个孩子，那么我们需要使用一样的结构保存A和C就需要设计至少两个指针域的结点。依次类推，我们要使用一个全部结点都能使用的结构，那么我们就需要将指针域的数量设计为最多孩子的结点的度（孩子的数量）。即该树的度作为指针域的数量。所以我们将案例树的结点设计为2个指针域。
缺点：这样设计可以统一管理结点，但是当结点之间的度相差太大时会是否浪费存储空间，比如A结点有1个孩子，B结点有10个孩子，那么按照10个指针域的设计，A结点就会浪费9个指针域。
方案三（重要）：换一种思维。
首先树可以由两个关系表示出来：结点——孩子——兄弟。（双亲与孩子之间的关系；孩子与孩子之间的兄弟关系）。所以这两个关系都可以用“数据域——指针域”的设计来表示。并且每一个结点都可以这样来设计：结点——孩子——兄弟。
例如A结点即它的孩子们就可以表示为：
依次类推，我们可以将所有结点都用这种“双亲——孩子——兄弟”的结构表示出来。但这样如果有n个结点就会得到n个单链表，而这n个单链表之间都没有联系，所以我们按照还是按照从上到下、从左到右的顺序为各个结点排序，并用这些下标表示各个结点的位置，这样就可以将这些分散的单链表联系起来。如图：
改进：该方案解决了结点结构不统一和空间浪费的问题，但任然可以进行改进，注意方案三的设计，我们将双亲和孩子串联起来，知道了某一结点，很容易就知道它的孩子，但如果要找到该结点的双亲需要进行遍历比较麻烦，而我们知道双亲是唯一的，所以我们可以将新增一个指针域指向双亲，所以改进结构就变成了：结点——双亲——孩子——兄弟。
ps:其实孩子存储结构的实质就是图的邻接表存储结构（树是一种特殊的图）。
3、孩子兄弟存储结构（重要）
这种存储方式是将树转换为二叉树然后再进行孩子兄弟存储。孩子兄弟存储结构与二叉树的关系十分密切，使用也比较广泛，因为这种存储结构能够把树或森林转换为二叉树。
（由于案例树已经是二叉树，这里我使用下图的树作为新的案例树）：
树和森林转化为二叉树
1、普通树转化为二叉树
将普通树转换为二叉树的规则：
1）将同一层的孩子结点用虚线串起来（如图1）
2）将每个结点的分支（实线）除了最左边的第一条线全部剪掉（如图2）
3）将虚线变为实线就形成了二叉树。（如图3）
孩子兄弟存储结构其实是利用二叉树的规范的优点，先将树转化为二叉树再进行存储问题就变得简单多了。
ps：我们将一棵以孩子兄弟存储后，只需要使用二叉树的各种遍历（先序、中序和后序）就可以还原普通的树，下文树和森林的遍历会讲到。
2、森林转换为二叉树
如果你懂了普通树转换为二叉树的方法，那么森林转化为二叉树也就变得十分简单了。
注意普通树转换为的二叉树有一个特点：根结点没有右兄弟（这里说的右兄弟是根结点的孩子的兄弟）。而森林是由若干不相连的树组成的，所以我们先将森林里的没颗树转化为二叉树，然后利用“没有右兄弟”这个特性，第二颗树的根结点作为第一颗树的右兄弟，第三颗树作为第二颗树的右兄弟，依次类推。这样就将所有分散的二叉树连接成为一颗二叉树。
将森林转换为二叉树的规则：
1）分别将森林里的树转化为二叉树（如图1）
2）从左往右，右边的树的结点作为左边树结点的右兄弟连接起来即可。
树和森林的遍历
我们常说的树的三种遍历方式，其实是二叉树的三种遍历方式：前序遍历、中序遍历和后序遍历。
注意，普通树的遍历只有先序遍历和后序遍历两种（即普通树没有中序遍历）；而森林的遍历方式只有先序遍历和中序遍历两种（即森林没有后序遍历）。不要混淆。由于树和森林都可以转换为二叉树来存储，所以我们一般只需要重点掌握二叉树的三种遍历方式就可以了。
1、三者之间遍历的联系：
1）树转化为二叉树，那么树的先序遍历对应二叉树的先序遍历；树的后序遍历对应二叉树的中序遍历。
2）森林转化为二叉树，那么森林的先序遍历对应二叉树的先序遍历；树的中序遍历对应二叉树的中序遍历。
2、遍历规则（注意，由于树的定义本身就存在递归，所以遍历是也存在递归）
树的先序遍历：先访问根结点，再依次先序遍历根结点的每颗子树。
树的后序遍历：先依次访问根结点的子树，再访问根结点。
（森林是由树组成的，所以森林的遍历是在树的遍历继承之上的）
森林的先序遍历：先访问森林第一棵树的根结点，先序遍历第一颗树的子树，然后再先序遍历森林中除第一颗树外的其他树。（其实就是从左往右分别对每棵树进行先序遍历的效果）。
森林的中序遍历：中序遍历第一颗树根结点的子树，访问第一颗树的根结点，然后再中序遍历森林中除第一颗树外的其他树。（其实就是从左往右分别对每棵树进行后序遍历的效果）。
3、结论
1、森林的遍历其实就是若干树从左往右进行（先序或后序）遍历的结果。（所以其实森林的中序遍历其实是树后序遍历的结果，我们称为中序遍历而不是后序遍历是因为，后序遍历遇到根结点表示遍历结束，而森林中的根结点不止一个，遇到根结点可能并没有结束，所以不宜称为后序遍历）。
2、那为什么普通树没有中序遍历呢？因为普通树的孩子为若干个，不像二叉树刚好分为“左根右”，根结点正好符合中序遍历的“中间位置”，而普通树如果有中序遍历，那么这个根结点什么时候遍历（即放在哪个子树之间）算是中呢？所以，树没有中序遍历。
