拉格朗日插值

前言

关于范德蒙德矩阵的傻逼证明自行百度。

点值表达

一个次数界为 \(n\) 的多项式 \(A(x)\) 的点值表达是一个由 \(n\) 个点对组成的集合:

\[\{(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_{n-2}, y_{n-2}),(x_{n-1},y_{n-1})\} \]

其中 \(x_i\) 互不相同。

一个傻逼的性质， \(A(x) = B(x) + C(x)\) 时有：

\[A(x) = \{(x_0,By_0+Cy_0),(x_1,By_1+Cy_1),\dots,(x_{n-2},B y_{n-2}+C y_{n-2}),(x_{n-1},By_{n-1}+Cy_{n-1})\} \]

\(A(x) = B(x) \times C(x)\) 时有：

\[A(x) = \{(x_0,By_0\times Cy_0),(x_1,By_1\times Cy_1),\dots,(x_{n-2},By_{n-2}\times C y_{n-2}),(x_{n-1},By_{n-1}\times Cy_{n-1})\} \]

系数表达

一个次数界为 \(n\) 的多项式 \(A(x)\) 的系数表达是一个由 \(n\) 个系数组成的多项式:

\[a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2 + \dots + a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-1}x^{n-1} \]

系数表达与点值表达的关系

对于任意一个由 \(n\) 个点对组成的点值表达都有唯一一个次数界为 \(n\) 的多项式与其对应。

有 \(y_i = A(x_i)\)。

拉格朗日插值

有：

\[A(x) = \sum_{i = 0}^{n-1} y_i\prod_{j \ne i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

设

\[A(x) = \{(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_{n-2}, y_{n-2}),(x_{n-1},y_{n-1})\} \]

构造 \(A_i(x)\) 多项式满足：

\[A(x) = \sum_{i = 1}^{n-1}A_i(x_i) \]

有

\[A_i(x) = \{(x_0,0),(x_1,0),\dots,(x_i,y_i),\dots,(x_{n-2},0),(x_{n-1},0)\} \]

\[A(x) = \sum_{i = 1}^{n-1}A_i(x_i) = \{(x_0,y_0),(x_1,y_1),\dots,(x_{n-2}, y_{n-2}),(x_{n-1},y_{n-1})\} \]

\[A_i(x) = y_i \prod_{j\ne i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

当 \(x = x_i\) 时有 \(\prod_{j\ne i}\dfrac{x_i-x_j}{x_i-x_j} = 1\)，所以 \(A_i(x_i) = y_i\)
当 \(x \ne x_i\) 且 \(x = x_j\) 时有 \(x-x_j = 0\) 有 \(\dfrac{x_i-x_j}{x_i-x_j} = 0\) ，所以 \(A_i(x_i) = 0\)
因为 \(j \ne i\) 所以分母不会为零。

所以

\[A(x) = \sum_{i = 1}^{n-1}A_i(x_i)= \sum_{i = 0}^{n-1} y_i\prod_{j \ne i}\dfrac{x-x_j}{x_i-x_j} \]

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll p = 998244353;
ll ksm(ll x, ll y){
    ll cur = 1; x = (x + p) % p;
    while(y){
        if(y&1) cur = (cur*x)%p;
        x = (x*x)%p, y >>= 1;
    }
    return cur;
}
const int N = 5e4;
ll n, k, x_i[N], y_i[N], i, j, t;
int main(){
    scanf("%lld %lld", &n, &k);
    for(i = 1; i <= n; i ++)
        scanf("%lld %lld", &x_i[i], &y_i[i]);
    ll ans = 0;
    for(i = 1; i <= n; i ++){
        t = y_i[i];
        for(j = 1; j <= n; j ++) if(i != j){
            t = (1ll * t * ((k - x_i[j] + p)%p) % p * 1ll * ksm(x_i[i] - x_i[j], p-2) % p) % p;
        }
        ans = (ans + t) % p;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}