数论——整除

设 $ a $ 是非零整数， $ b $ 是整数并且有 $ a \times q = b $ 。记作 $ a | b $ 。

1. 若 $ a | b $ 且 $ b | c $ ，则 $ a | c $ 。

2. 若 $ a | b $ 且 $ a | c $ ，则 $ a | ( b \times x + c \times y ) $。

证明：

有 $$ a \times q = b \text{ , } a \times p = c $$

则 $$ b \times x = a \times q \times x \text{ , } c \times y = a \times p \times y $$

所以 $$ b \times x + c \times y = a \times (q \times x + p \times y) $$

即 $$ a | ( b \times x + c \times y ) $$

3. 若 $ a|b $ 且 $ m \ne 0 $ ,则 $ (a \times m)|(b \times m) $ 。

4. 若 $ a|n , b|n $ ， 并满足 $ a \times x + b \times y = 1 $ ，则 $ (a \times b ) | n $ 。

证明：

有 $$ a \times q = n \text{ , } b \times p = n \text{ , } a \times x \times n + b \times y \times n = n $$

所以 $$ a \times x \times b \times p + b \times y \times a \times q = n $$

所以 $$ a \times b \times (x \times p + y \times q) = n $$

所以 $$ (a \times b ) | n $$