权值线段树学习笔记
1.权值线段树
线段树，它是一个维护区间强有力的工具。权值线段树是一个普通线段树的应用，相当于开了一个桶，每一个叶子节点装的信息是权值等于该点的个数。对于每一个节点内装的都是该范围有多少个数，底层原理就是线段树的单点修改和区间查询了。考虑到线段树的结构就是二分区间，我们每次查找 kth 的时候其实就是查找第一个前缀和大于等于 k 的数字。
从权值线段树的形态性质来看，单次查找 kth 的每一步都是固定的，可以往下走，那么单次查询的复杂度和树高同阶，也就是 logn 了。
但是，当前的问题的值域是 \(\left[1,10^{18}\right]\)，而权值树的叶节点数量要等于这个长度，怎么办 ？这就要用到线段树的基本操作了。
动态开点
这是线段树最为精妙的思想。很多时候线段树中并不是每一个点都能用到，权值树中更是有很多空节点，如果每一个都要占用内存，太浪费了。
使用了动态开点，我们不需要建树，每一次的加或者减都会最多创造出 logn 个节点，可以有效的节省空间。实现也很简洁，如果当前节点编号 u 为0，u=++cnt 就好了。
可持久化操作
可持久化的权值线段树，也就是主席树，也是省空间的方法。以单点修改为例子，如果我们此时需要添加一个权值进去，需要更新的节点为 logn 个。也就是说，其余的节点可以全部保留。每一次操作我们都可以生成一个新的符合当前版本的线段树，根节点使用一个数组记录就好了。
思考一下，为什么线段树（这里是权值线段树）可以支持这样的操作？
answer : 权值线段树结构的统一性
统一性？也就是说，任意两颗权值线段树的形态是一样的，都是根据区间进行划分的，每一个位置所包含的信息是一个东西。任意两棵树的任意相同位置所代表的节点都是维护一个值。
因此，权值线段树具有可加减性，这代表这权值线段树可以完成前缀累加或者是差分等一系列操作。因为权值线段树的拓扑结构不可改变，因此权值线段树的应用范围更广，而且思路更加巧妙，像数字一样满足结合律与交换律。
比如线段树合并/分裂、树套树，或者是实际应用上的扫描线、逆序对，最重要的也就是本文所提到的 kth 了。
2.kth 问题
先从一般情况的入手，即带修改的情况。
例 \(1\)
P3380 【模板】二逼平衡树
一个长为 \(n\) 的序列 \(A\)，有 \(n\) 个单点修改或者是查询给定区间\(\left[L_i,R_i\right]\) 的第 \(k\) 小数字的操作。
\(n\leq10^5\)，\(1\leq a_i \leq 10^{9}\)。
刚刚分析的是全局情况，也就是不需要维护这些数字一开始的位置，只需要往一个权值树里面加就好了。但是现在题目要求我们只求一段区间的，难道每次询问都要重新把这些数字添加进去吗？
显然不是，但是如果我们使用一种方法，让我们可以高效率的找到很多颗权值线段树，使他们的并集可以表示出原有区间的所有数字（这里用到了权值线段树的可加性），那么每次查询的时候直接并起来就好了。对于修改操作，我们每次找到包含了该节点的线段树直接改就好了。
树套树！没错，但是树套树是如何实现的？（这里使用树状数组套权值线段树解释）
树状数组可以在把 \(f\left(l,r\right)\) 分解成 \(f\left(1,r\right)-f\left(1,l-1\right)\) 时发挥巨大的作用，可以快速查区间和。而我们这里的问题不是一样的吗？假如把每一颗权值线段树当成一个数字，我们就可以快速修改每一颗权值线段树了。
所以，只需要将平常的数字累加换成权值线段树累加就好了，对应的区间就是权值线段树中包含数字的范围。
空间复杂度：n 个数字，每次加入为 logn 次，一个数字一共加入 logn 次， 也就是 \(O(n\log^2n)\) 。
时间复杂度：n 次询问，一个区间分为 logn 颗树，每次询问为 logn 次递归 ，也就是 \(O(n\log^2n)\) 。
如果是特殊情况即静态区间第 k 小呢，能不能优化一点时空？
例 \(2\)
P3834 【模板】可持久化线段树 2
一个长为 \(n\) 的序列 \(A\)，有 \(n\) 次查询给定区间\(\left[L_i,R_i\right]\) 的第k小数字。
\(n\leq2\times10^5\)，\(|a_i| \leq 10^{9}\)。
如果说我们在一般不带修改问题中，为了快速获取一段区间，最快的结构是什么？ 前缀和 。
也就是说，前缀和可以 \(O(1)\) 分割出我们想要的目标区间，而上述例1使用树状数组是为了要修改。但是，前缀和所添加的数字是 \(n^2\) 级别的，空间复杂度不得爆炸？但是别忘了，咱们有可持久化线段树（主席树） 。
这样一来，主席树可以完美契合前缀和的思想，每次 insert 一个数字都可以直接继承上一个版本，空间/时间复杂度达到最小的 \(O(n\log n)\) ，这也是主席树最经典的应用。
例 \(3\)
P2633 Count on a tree
树上静态链上第k小，数据范围 \(10^5\) 。 参考代码
既然是区间第 k 小，考虑把例2的思想转移过来。使用主席树预处理出每一颗树，然后再相减转移。考虑树上差分，设 \(Sum_i\) 为 i 到根节点路径上的和，即
树上两点 \(a\),\(b\) 最短路径和 \(= Sum_a+Sum_b-Sum_{LCA}-Sum_{Fa[LCA]}\) 。
于是这道题写一个树剖求 lca ，主席树维护值域就好了，记得离散化。我们再拓展一下，如果要求的是子树中的第 k 小呢？这应该比较简单，维护 dfs 序的前缀和就好了，把树转换成序列。
小结
因为例1需要修改，所以我们使用了树状数组作为外层结构，而内层使用权值线段树契合。
因为例2是完全静态的，所以我们想到了前缀和作为外层结构，内层结构使用可以和前缀和完全契合的可持久化权值线段树。
而例3, 则充分的体现了权值线段树的可加减性，让差分解决了问题，属于是例2的扩展。
3.一些习题
P1903 [国家集训队] 数颜色 / 维护队列
维护的东西开始不一样了，仔细考虑一下吧。
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