Educational Codeforces Round 104
A. Arena (*800)
题意
有\(n(2\leq n\leq 100)\)个人，每人初始有一个能力值\(a_i\)，每次可以随意选择两个人进行一场比赛，能力值高的人能力值加一，当一个人至少赢了\(100^{500}\)场比赛时，他就是冠军，计算可能成为冠军的人数
题解
对于能力值为\(a_i\)的人，如果没有人能力值比他小，那么他无法赢得任何比赛，所以无法成为冠军。反之，只要有任何一个人的能力值比他小，他就可以不断和这个人进行比赛，从而成为冠军。所以答案为总人数减去\(a_i\)最小的人数
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
#define eps 1e-6
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
const int maxn=110;
int T,n,a[maxn];
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
sort(a+1,a+1+n);
int ans=(a+1+n)-upper_bound(a+1,a+1+n,a[1]);
printf("%d\n",ans);
}
}
B. Cat Cycle (*1200)
题意
有两只猫\(A\)和\(B\)和\(n(2\leq n\leq 1e9)\)块它们睡觉所在的毛绒布，这两只猫每小时都会更换睡觉所在地，循环更换：
对于\(A\)，循环顺序为\(n,n-1,,n-2,\cdots ,3,2,1,n,n-1,\cdots\)
对于\(B\)，循环顺序为\(1,2,3,\cdots ,n-1,n,1,2,\cdots\)
由于\(A\)更年长，所以当\(A\)和\(B\)刚好要睡同一块毛绒布时，\(A\)睡这块毛绒布，\(B\)睡它的顺序里的下一块毛绒布
给出小时数\(k(1\leq k\leq 1e9)\)，计算经过\(k\)个小时之后\(B\)位于的毛绒布编号
题解
如果\(n\)是偶数，则\(A\)和\(B\)不会在同一块毛绒布上相遇，可以通过\(k\% n\)计算\(B\)的位置
如果\(n\)是奇数，则每经过\(\lfloor \frac{2}{n} \rfloor\)步，\(B\)就会比\(A\)多走\(1\)步，可以通过\((k+\lfloor \frac{2}{n} \rfloor)\% n\)计算\(B\)的位置
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define PII pair<int,int>
#define eps 1e-6
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
int T;
LL n,k;
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%lld %lld",&n,&k);
k--;
if(n%2==0){
printf("%lld\n",k%n+1);
}
else{
LL f=n/2;
k+=k/f;
printf("%lld\n",k%n+1);
}
}
}
C. Minimum Ties (*1500)
题意
有\(n(2\leq n\leq 100)\)支队伍，两两之间进行一场比赛，一共进行\(\frac{n(n-1)}{2}\)场比赛。胜者得\(3\)分，败者得\(0\)分，平局双方各得\(1\)分。构造一种每局的胜败情况，使得所有比赛结束之后所有队伍的分数相同并且平局数量最少
题解
case 1: \(n\)为奇数。每支队伍需要进行\((n-1)\)场比赛，\((n-1)\)为偶数，所以只要每支队伍胜\(\frac{(n-1)}{2}\)场，负\(\frac{(n-1)}{2}\)场，则不需要平局。具体构造方法是将所有队伍按照编号围成一个圆圈，每支队伍与之后\(\frac{(n-1)}{2}\)支队伍的比赛结果为胜，与再之后\(\frac{(n-1)}{2}\)支队伍的比赛结果为负
case 2: \(n\)为偶数。如果所有\(\frac{n(n-1)}{2}\)场比赛全都不是平局，则总得分为\(\frac{3n(n-1)}{2}\)，无法整除\(n\)，所以需要平局，平局数量最少为\(\frac{n}{2}\)。具体构造方法是将所有队伍按照编号围成一个圆圈，每支队伍与之后\(\frac{(n-2)}{2}\)支队伍的比赛结果为胜，与之后第\(\frac{n}{2}\)支队伍的比赛结果为平局，与再之后\(\frac{n(n-2)}{2}\)支队伍的比赛结果为负
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define ULL unsigned long long
#define PII pair<int,int>
#define PLL pair<LL,LL>
#define PLI pair<LL,int>
#define pi acos(-1.0)
#define eps 1e-6
#define lowbit(x) x&(-x)
using namespace std;
int T,n;
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d",&n);
if(n&1){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
if(j-i<=n/2) printf("1");
else printf("-1");
if(i==n-1 && j==n) printf("\n");
else printf(" ");
}
}
}
else{
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=i+1;j<=n;j++){
if(j-i<n/2) printf("1");
else if(j-i==n/2) printf("0");
else printf("-1");
if(i==n-1 && j==n) printf("\n");
else printf(" ");
}
}
}
}
}
D
题意
给出\(n(1\leq n\leq 1e9)\)，计算有多少组\((a,b,c)\)满足
\(
\left\{
\begin{matrix}
1\leq a\leq b\leq c\leq n\\
c^2=a^2+b^2\\
c=a^2-b\\
\end{matrix}
\right.
\)
题解
将\(a^2\)代换，得到\(b^2+b=c^2-c\)，即为\(b(b+1)=c(c-1)\)，也就是\(c=b+1\)，所以\(2\leq c\leq n\)。将\(b=c-1\)代入\(a^2=b+c\)，得到\(a^2=2c-1\)，所以\(a\)为奇数，由于\(a\approx \sqrt{c} \leq \sqrt{n}\)，所以可以枚举\(a\)，时间复杂度\(O(\sqrt{n})\)。也可以直接推出式子得到答案：\(ans=\frac{\sqrt{2n-1}+1}{2}-1\)，时间复杂度\(O(1)\)
\(O(\sqrt{n})\)
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
int T;
LL n;
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%lld",&n);
LL ans=0;
for(LL i=3;i*i<=2*n-1;i+=2) ans++;
printf("%lld\n",ans);
}
}
\(O(1)\)
#include<bits/stdc++.h>
#define LL long long
using namespace std;
int T;
LL n;
int main(){
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%lld",&n);
LL ans=(sqrt(2*n-1)+1)/2-1;
printf("%lld\n",ans);
}
}
