第三章作业

1.1 递归方程式

由“必须在 2N-1 个单位时间穿越出去”可知，商人只能向右或向下走。

设 a[i][j] 为格子费用，dp[i][j] 为从左上角走到 (i,j) 的最小通行费（0 下标）：

dp[0][0] = a[0][0]

第一行：
dp[0][j] = dp[0][j-1] + a[0][j]

第一列：
dp[i][0] = dp[i-1][0] + a[i][0]

其余：
dp[i][j] = a[i][j] + min(dp[i-1][j], dp[i][j-1])

含义：到达 (i,j) 只能从上方或左方来，取费用较小者。

1.2 填表法

表的维度：二维表 dp[N][N]。

填表范围：i=0..N-1，j=0..N-1。

填表顺序：先初始化 dp[0][0]，再填第一行和第一列；其余按行从上到下、每行从左到右填写。

原问题最优值：dp[N-1][N-1]。

1.3 复杂度

时间复杂度：O(N^2)。

空间复杂度：O(N^2)。由于 dp[i][j] 只依赖上一行和当前行前一列，也可优化到 O(N)。

理解与体会

动态规划的关键是定义状态、找转移、定边界、定顺序。本题的突破口是“2N-1 时间”限制了只能向右或向下走，于是状态 dp[i][j] 很自然。填表顺序要保证依赖项已计算。动态规划通过保存子问题答案避免重复搜索，效率高。实际做题应先保证转移和边界正确，再考虑空间优化。