田字形电路求解

一个田字形电路，条线段之间的电阻都是r，分别求

1、A1，B1之间等效电阻

2、A1、A2之间等效电阻

3、A1、O之间等效电阻

4、A1、B2之间等效电阻

5、A1、A3之间等效电阻

6、O、B2之间等效电阻

7、B1、B3之间等效电阻

8、B1、B2之间等效电阻

除了1和4，其他都是对称电路，所以把这两题放最后来做。

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2、A1、A2电阻，B1B3垂直等分A1A2，根据平衡对称原理，B1、O、B3等电势，因此直接去掉B1 B3这条电路得到如下电路图

最后求解A1 A2的等效电阻为 5r/4

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3、A1、O连线平分整个电路，因此左上和右下属于传递对称，因此A2、A4等电势，B2、B3等电势，直接去掉B2、B3的连线，将剩余的电路合并，得到如下电路

 

为什么上面右边的每条边的电阻变成了1r/2 呢？ 因为原来的是r，因为等电势合并一起，每条边以并联的形式重合了，所以电阻减小一半。

O B2 A2 B1  这条分支电路和O B1并联，再和A1  B1串联，最后求解A1 O的有效电阻为7r/8

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5、A1、A3连线平分整个电路，因此左上和右下属于传递对称，因此A2、A4等电势，我们也可以直接将左上电路和右下电路并联方式合并，得到如下电路

同样因为等电势合并后，电路并联导致电阻缩小一半，所以每条边都是1r/2，最后求得A1、A3有效电阻为3r/2

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6、沿着O B2的连线，折叠，电路分为上下对称电路，因此也可以直接合并，得到如下电路

因为沿着O、B2折叠，所以B4、B2这整条电路，是保留原来的，没有被合并，其他部分是被并联合并，因此B4 O和O  B2电阻还是r，其他电阻都是1r/2

这里O B4  A1  B1这条支路和O B1支路并联 得到电阻为1r/3 ，再和B1 A2  ，A2 B2串联 得到4r/3 ，再和O B2并联得到4r/7

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7、B1、B3的连接，可以被B2、B4的连线垂直平分，因此可以形成一个平衡对称电路，因此 B2  、O  、B4三点等电势，所以直接去掉中间的电路，形成如下电路

这个电路相当简单，左右各是4r 并联变成2r  再和中间的B1 B3这个2r 并联，最后求得B1 B3等效电阻为1r

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8、B1 B2连接后，A2 O A4连线，垂直平分该电路，因此也是个平衡对称电路，A2 O A4三点等电势，中间的电O点可以拆分开来O1和O2，如下电路

上面的右图就是一个很简单的电路了，最后求得B1、B2的有效电路为5r/6

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1、A1 B1形成的电路，不是对称的，普通方法我们无法求解。我们可以通过构造对称的两个电路，再将这两个电路的电流合并。

你看，A1 O是对称的电路对吧，O B1也是对称的电路对吧，我们如果把这两个电路重叠起来，是不是就达到了A1 B1

只要求出 I2 和I3 和I 的关系，就可以解出A1 B1的有效电阻，因为I2 和 I3所在的电路 是对称电路，所以还是可以求出的

我们先看I2，I从A1进来以后就分成了A1B4 和  A1B1两条支路，这两部分是完全对称的，所以I2 就是 I/2

再看I3，我们根据对称原理，我们左右对折合并简化成了下面的电路图，这个时候求A1 B1其实就很简单了，算出虚线的上部分电阻为7r/5  ,虚线的下面是r，也就是上面

占了总电阻的7/12  下面占了5/12   那么电流上面占5/12，也就是A1 B1电流占了5/12 , 考虑到因为折叠，其实这里的电流是总电流I的一半，所以A1 B1电流为(i/2 )* (5/12 )

结果为5i/24  也就是 I3是5i/24

最后将I2和I3相加根据之前那个公式得到  Ra1b1 = (5ir/24+1ir/2)/i  =17r/24

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4、A1 B2电阻，同上题，我们也找两个对称的电路合并，也就是A1O 和  O B2两个电路图的电流合并

先算I'1 和  i'2，根据对称合并后得到下面的等效电路图

总电流是一半i/2，所以I'1是i/2，   而B1A2电流就是虚线部分的电流，占据了上下并联部分电阻的3/4，所以电流就占据1/4，所以B1 A2电流为1/4* i/2 结果是i/8  也就是I"2 是i/8

再算I"1 和 I"2 , 对折，合并得到如下电路图

虚线上部分占据电路电阻的7/12，那么电流占据5/12，因为总电流又是取的一半，所以B1 A2电流为5i/24，又因为经计算O B1的上部分占据了O B1这个并联电路电阻的4/5，所以电流占据1/5，那么

A1 B1电流为(1/5) * (5i/24)  =i/24,  因此如下

I"1是i/24 ，I"2是5i/24

最后求得结果Ra1b1是 29r/24