自相似无穷网络电路

如果某个无穷网络，外面或者里面添加或者删除一部分电路跟原来的一样，没有影响，那么就是自相似无穷网络电路

1、单边线形无限网络

图1

如图1这个无穷网络，每个电阻都1欧姆，求AB等效电阻？

该红色部分电路一直在重复，也就是再加一段红色部分的电路，或者删除一段红色部分电路，原电路保持不变，所以这是一个自相似无穷网络电路。

假设AB的电阻为R，也就是AB电路再添加红色部分电路和原来电路一样，也就是R+红色电路电阻=R

R添加红色部分电路是先并联一个1欧姆，再串联一个1欧姆，所以（R*1）/（R+1）+1=R    简化得到R²-R-1=0，算出R=（√5+1）/2

 

图2

这个和上面那个差不多，只不过多了一个下面的电阻

相当于并联一个电阻，再串联2个电阻

所以（R*1）/（R+1）+2=R  简化得到R²-R-2=0   算出R = √3+1

 

2、双边型无限网络 

图3

AB电路的两边就是上面那个电路，AB上的那个电阻式1欧姆，所以AB的等效电阻就是√3+1和1并联和√3+1并联，求得为√3/3

 

从图4-1可知 C  D等电势，所以可以直接去掉中间的导线，得到图4-2的电路。三角形的2边和另外一边是并联，随后算出竖直电路时2/3欧姆 图4-3

AB电路的两边都是一个自相似电路，只要算出2边的电阻，并联就可以得出AB的等效电阻

两边的电阻，分别都是无限叠加橙色部分电路，形成的自相似电路

也就是假设两边的电阻是R   那么R并联2/3欧姆  然后串联2欧姆，等于R  

R=（R*2/3）/（R+2/3）+2   得出R=√21/3+1，AB左右都并联一个R   √21/3+1，并联的结果是（√21/3+1）/2

这样最后AB的电阻就是 （√21/3+1）/2  和2/3并联    ，得到AB为（2√21）/ 21  欧姆