古典概率问题-赌注分配

甲、乙两人赌技相同，各出赌注500元，约定：谁先胜三局，谁拿走全部1 000元赌注．现在已经赌了三局，甲二胜一负，因故要终止赌博，问这1 000元赌注应该如何分配才公平？

 

思路分析：

　　平均分配对甲欠公平，全部给甲则对乙欠公平，合理的分配是甲、乙按照一定的比例分配赌注．一种看来可以接受的方法是按照已胜局分，即甲拿2/3, 乙拿1/3，仔细分析，发现这种分配也不合理。

继续推理，从题目要求上看，先胜三局如果要分出胜负需要4局或者5局。

　　如果第4局甲胜乙负，则满足三胜一负。甲拿走1000。结果就是甲无（没有第5局）如果乙胜甲负，则进入第5局，4,5局结果无非是：乙甲，乙乙。

　　其中“乙甲”表示第4局乙胜第5局甲胜，自然还是甲先胜3局，拿走1000。“乙乙”表示第4局第5局都乙胜，乙拿走1000。

　　对前面三个结果都是甲有2种可能获胜因而得这1 000元赌注，只有在最后一个结果才能乙得到全部赌注．在赌技相同的情况下(甲、乙获胜的可能性相同)，甲、乙最终获胜的可能性大小之比为2∶1，所以全部赌注应该按照这个比例分配，1000元钱，甲拿三分之二四舍五入为667，乙拿剩下的三分之一，即333元。

　　但是这么做有个问题，这是建立在原有概率基础之上往下算，原有的概率是多少呢？根据古典概型，由于两人赌技相同，两人的胜率都是二分之一，这二分之一的来源是，对该事件即“赌技相同，先赢三局拿钱”进行可能性试验。

而上述错误做法，本质上是还在延续该条件下的试验，只不过是“排除掉了甲两胜一负”的前三局所有情况，而“甲两胜一负”的本质实际上是原试验的一种可能性，它并不是一个常量，他是一个变量，例如还有可能是“乙两胜一负”。

　　“前三局游戏，其概率为P（甲两胜一负）=1”。要求“公平”这个试验，就不能将前三局结果考虑其中，因为他们不具有可变性，不具有随机的“可能性”，比如我们不能说“前面彩票中奖的人下一次彩票中奖的可能性更多的预估"，这属于另一个独立事件。由于事件是互斥的，而整个游戏最多需要进行五次试验才能将所有的情况表现出来，这时候就要抛弃前面的试验结果来看，最多再赌2局。设想继续赌两局，则结果无非以下四种情况之一：

　　甲甲、甲乙、乙甲、乙乙

　　其中“甲乙”表示第一局甲胜第二局乙胜，其余类推。把已赌过的三局与中这四个结果结合（即甲、乙赌完五局），我们看到：对前三个结果都是甲胜三局得1000元，只有在最后一个结果才由乙得1000元。在赌技相同的情况下，四个结果应有等可能性。因此，甲、乙最终获胜的可能性的大小之比为3：1。全部赌本应按这比例分，即甲分750元，乙分250元，才算公平合理。

 

参考《概率论与数理统计（陈希孺）》