CSP-S2020 T2 动物园
CSP-S2020 T2 动物园
题目描述
动物园里饲养了很多动物，饲养员小 A 会根据饲养动物的情况，按照《饲养指南》购买不同种类的饲料，并将购买清单发给采购员小 B。
具体而言，动物世界里存在 2k2^k2k 种不同的动物，它们被编号为 0∼2k−10 \sim 2^k - 10∼2k−1。动物园里饲养了其中的 nnn 种，其中第 iii 种动物的编号为 aia_iai。
《饲养指南》中共有 mmm 条要求，第 jjj 条要求形如“如果动物园中饲养着某种动物，满足其编号的二进制表示的第 pjp_jpj 位为 111，则必须购买第 qjq_jqj 种饲料”。其中饲料共有 ccc 种，它们从 1∼c1 \sim c1∼c 编号。本题中我们将动物编号的二进制表示视为一个 kkk 位 01 串，第 000 位是最低位，第 k−1k - 1k−1 位是最高位。
根据《饲养指南》，小 A 将会制定饲料清单交给小 B，由小 B 购买饲料。清单形如一个 ccc 位 010101 串，第 iii 位为 111 时，表示需要购买第 iii 种饲料；第 iii 位为 000 时，表示不需要购买第 iii 种饲料。 实际上根据购买到的饲料，动物园可能可以饲养更多的动物。更具体地，如果将当前未被饲养的编号为 xxx 的动物加入动物园饲养后，饲料清单没有变化，那么我们认为动物园当前还能饲养编号为 xxx 的动物。
现在小 B 想请你帮忙算算，动物园目前还能饲养多少种动物。
输入格式
第一行包含四个以空格分隔的整数 n,m,c,kn, m, c, kn,m,c,k。
分别表示动物园中动物数量、《饲养指南》要求数、饲料种数与动物编号的二进制表示位数。
第二行 nnn 个以空格分隔的整数，其中第 iii 个整数表示 aia_iai。
接下来 mmm 行，每行两个整数 pi,qip_i, q_ipi,qi 表示一条要求。
数据保证所有 aia_iai 互不相同，所有的 qiq_iqi 互不相同。
输出格式
仅一行一个整数表示答案。
题解：
首先通过数据范围可以看出，这道题一定是一个\(O(1)\)找规律得结果的题。不可能逐个验证。
然后可以看出，这道题和买进第几种饲料根本没关系，对于购进饲料列表的变化，只需要看要求和已有之间的关联即可。
于是发现，对于所有已养的动物编号，可以用或运算来变成一个数，其二进制可以被称为“已有串”。同时，对于所有要求中的p[i]，也可以用或运算来变成一个数，其二进制可以被称为“需求串”。那么，对于已有串和需求串，有以下讨论：
对于每位：
1、已有串有，需求串没有：因为没有需求，所以新来动物编号在此位是不是1都行。
2、已有串有，需求串有：因为已经有了，所以新来动物编号在此位是不是1都行。
3、已有串没有，需求串有：重点来了，因为有需求，但是没有，所以新来动物编号在这个位置必须是0，否则就会对饲料名单有变化。
4、已有串没有，需求串没有：同理，因为没需求，所以在此位是不是1都行。
于是，通过已有串和需求串，可以知道，哪些位置必须是0。
至于\(O(1)\)得结果，想到容斥原理。一共有\(2^k\)种动物，假设有\(cnt\)位必须为0，那么可能合法的种数就是\(2^{k-cnt}\)。根据定义：已有串没有，所以这\(n\)种动物一定都被这些种包含。
所以答案就是：\(2^{k-cnt}-n\)。
于是这道题变成考快速幂。
UPD：本来以为是满分，但是挂了太多的分。
要开ull，然后(1<<i)的时候1要强制转换成ull。然后极限情况爆ull，所以要特判。
满分代码：
#include<cstdio>
#define int unsigned long long
using namespace std;
const int maxn=1e6+6;
int n,m,c,k;
int all,need,cnt;
int qpow(int a,int b)
{
int ret=1;
while(b)
{
if(b&1)
ret=ret*a;
a*=a;
b>>=1;
}
return ret;
}
signed main()
{
scanf("%llu%llu%llu%llu",&n,&m,&c,&k);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x;
scanf("%llu",&x);
all|=x;
}
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int p,q;
scanf("%llu%llu",&p,&q);
need|=(1ull<<p);
}
for(int i=0;i<k;i++)
if(((all&(1ull<<i))==0)&&(need&(1ull<<i)))
cnt++;
int ans=qpow(2,k-cnt)-n;
if(k==64 && cnt==0 && n==0)
puts("18446744073709551616");
else
printf("%llu\n",ans);
return 0;
}
