SDOI 2008 仪仗队

洛谷 P2158 [SDOI2008]仪仗队

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题目描述

作为体育委员，C君负责这次运动会仪仗队的训练。仪仗队是由学生组成的N * N的方阵，为了保证队伍在行进中整齐划一，C君会跟在仪仗队的左后方，根据其视线所及的学生人数来判断队伍是否整齐(如下图)。 现在，C君希望你告诉他队伍整齐时能看到的学生人数。

输入格式

共一个数N

输出格式

共一个数，即C君应看到的学生人数。

输入输出样例

输入 #1复制

输出 #1复制

说明/提示

【数据规模和约定】

对于 100% 的数据，1 ≤ N ≤ 40000

题解：

一道欧拉函数的经典题。原题是POJ 3090 Visible Lattice Points

来看图说话：

观察这个图，我们首先发现，这个东西是关于直线\(y=x\)对称的。接下来我们观察遮挡，根据几何学中的相似知识（三角形相似），我们发现，如果有两个点的横纵坐标构成的两个三角形相似的话，那么那个较大的三角形（那个点）就会被挡住。

什么意思呢？我们发现，一个点可见的条件为：当且仅当\((x,y)\in N,x\not=y\)并且\(gcd(x,y)=1\)，即横纵坐标互质。

因为这个图像的大小已知，并且这个图像是关于\(y=x\)对称的，那么我们只需要考虑半边的图像有多少点，给它乘二加三（因为有\((1,0),(1,1),(0,1)\)）即可。

不需要双层循环进行枚举，只需要用一层循环枚举\(y\)，因为是关于\(y=x\)对称的，所以\(x\in [1,y)\)，那么，符合条件的\(x\)的数量就是\(y\)的欧拉函数\(\Phi (y)\)。

所以，答案为：

\[\sum_{i=2}^{n-1}\Phi(i)\times 2+3 \]

为什么是到\(n-1\)而不是到\(n\)呢？因为原点的坐标是\((0,0)\)，而这个点不能被统计到答案中去（自己不能孤芳自赏），是从0计数的。

然后就简单了，一遍线筛筛选出欧拉函数数组，直接统计答案即可，复杂度是\(O(n)\)的。

关于欧拉函数的知识点，如有不太清楚的，敬请移步到本蒟蒻的这篇博客：

浅谈欧拉函数

代码：

#include<cstdio>
using namespace std;
const int maxn=40010;
int phi[maxn],v[maxn],prime[maxn];
int n,cnt,ans;
void euler(int n)
{
    cnt=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!v[i])
            prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=n && i*prime[j]<=n;j++)
        {
            v[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*phi[prime[j]];
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    if(n==1)
    {
        printf("0");
        return 0;
    }
    euler(n);
    for(int i=2;i<n;i++)
        ans+=phi[i];
    printf("%d",ans*2+3);
    return 0;
}