Sol 函数求值

函数求值

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题面描述

给定函数：

\[f(x) = \begin {cases} 1 & x \lt 4 \\ f(x - 1) + f(x - \pi) & x \ge 4 \end{cases} \]

此处 \(\pi = 3.1415926\)。

给定 \(x\)，问 \(f(x) \texttt{ mod 998244353}\) 的值。

输入格式

一个正整数 \(x (1 \le x \le 2 \times 10^5)\)

输出格式

输出一个数字表示答案。

样例#1

样例输入#1

4

样例输出#1

2

样例#2

样例输入#2

25

样例输出#2

4024

Analysis

\(\texttt{10pts 的暴力想法}\)

考虑给了个一眼式子，那我们可以随便搞搞，然后就幻想一下，就 \(\texttt{10pts}\) 了。

看个乐呵

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#include <bits/stdc++.h>
#define pi 3.1415926
#define ll unsigned long long
#define md 998244353
using namespace std;
int n; map <double, int> mp;
int f(double x) { // 这个 map 用了跟没用一样
	if (x < 4) return 1;
	if (mp[x]) return mp[x];
	ll res = (f(x - 1) + f(x - pi)) % md;
	mp[x] = (int)res;
	return mp[x];
} signed main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0); cin >> n;
	cout << f(n * 1.0); return 0;
}

但是，距离这道题的期望得分，仍然差了一个 \(\texttt{0}\) 所以，还要继续想。

题意转化

我们通过观察式子，然后……感性的理解一下，发现：

数轴零点上，一只小粉兔，向正方向，跳跳跳，有俩种步长：\(\texttt{1 和 } \pi\) 他跳到 \(n - 4\) 的点停了，求方案数

正解

考虑做一个预处理算组合数，害怕 \(TLE\) 警告，用下逆元，然后枚举走了 \(i\) 个 \(1\) 步，可以算出走了几个 \(\pi\) 步。

然后处理一个细节，最后一步走个啥？

考虑算一下小粉兔跳完之后，肯定会超出 \(n - 4\) 这个点，问下他超了多少，若超过 \(1\) 就说明，最后一步必然跳的是 \(\pi\)，反之自证。

于是可以写转移了：

\[ans += \begin {cases} C_{\texttt{总步数}} ^ {走 1 步} & x \le 1 \\ \\ C_{\texttt{总步数 - 1}} ^ {走 \pi 步 - 1} & x \gt 1\\ \end {cases} \]

解释一下上述转移的细节：

1. 第一种是总步数里面挑出走 \(1\) 的。
2. 第二种是不算最后一步里面挑出走 \(\pi\) 的。
3. 关于为啥 \(case\#2\) 里 \(-1\) 了，请阅读上文讨论的细节。

毕。

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init();
/* ... ... */
if (n < 4) {cout << 1; return 0;}
for (int i = 0; i <= n - 3; i++) {
	int j = ceil(((double)(n - 4) - i) / pi);
	int dt = ceil((double)j * pi - (double)(n - 4) + i);
	if (dt <= 1) ans = (ans + C(i + j, i)) % md;
	else ans = (ans + C(i + j - 1, j - 1)) % md;
} 
/* ... ... */