狄尔沃斯定理_Dilworth's Theorem

狄尔沃斯定理 —— Dilworth's Theorem

0x00 前置知识：

1、偏序关系

• 概述：

---

”偏序集合（英语：Partial order set，简写poset）是数学中，特别是序理论中，指配备了部分排序关系的集合。这个理论将排序、顺序或排列这个集合的元素的直觉概念抽象化。这种排序不必然需要是全部的，就是说不必要保证此集合内的所有对象的相互可比较性。部分排序集合定义了部分排拓扑。“————百度百科

---

• 形式定义

设\(R\)是集合\(A\)上的一个二元关系，若\(R\)满足：

Ⅰ自反性：对任意\(x\in A\)，有\(xRx\)；

Ⅱ反对称性（即反对称关系）：对任意\(x\)，\(y\in A\)，若\(xRy\)，且\(yRx\)，则\(x = y\)；

Ⅲ传递性：对任意\(x\)，\(y\)，\(z\in A\)，若\(xRy\)，且\(yRz\)，则\(xRz\)。

则称\(R\)为\(A\)的偏序关系，通常记作\(\preccurlyeq\)。注意这里的\(\preccurlyeq\)不必是指一般意义上的”小于或等于“。

若然有\(x\preccurlyeq y\)，我们也说\(x\)排在\(y\)前面 (x precedes y)

2、偏序集

• 概述：

---

……

若在集合\(A\)上给定一个偏序关系\(\preccurlyeq\)，则称集合\(A\)按偏序关系\(\preccurlyeq\)构成一个偏序集合，集合\(A\)和偏序\(R\)一起称为偏序集，记作<\(a,\preccurlyeq\)>。

3、链和反链

• 概述：

---

设<\(A\)>是一个偏序集合，在\(A\)的一个子集中，如果每两个元素都是有关系的，则称这个子集为链。在\(A\)的一个子集中，如果每两个元素都是无关系的，则称这个子集为反链。

我们约定，若\(A\)的子集只有单个元素，则这个子集既是外链又是反链。

例如<\(A\)>表示一个单位里所有工作人员的集合，表示领导关系，则<\(A\)>为一偏序集，其中部分工作人员之间有领导关系的组成一个链。还有部分工作人员没有领导关系的组成一个反链。

---

0x01 狄尔沃斯定理 (Dilworth's Theorem)：

• 概述：

---

”狄尔沃斯定理（Dilworth's Theorem）亦称偏序集分解定理，是关于偏序集的极大极小的定理，该定理断言：对于任意有限偏序集，其最大反链中元素的数目必等于最小链划分中链的数目。此定理的对偶形式亦真，它断言：对于任意有限偏序集，其最长链中的元素的数目必等于其最小反链划分中反链的数目，有偏序集中\(P\)按如下方式产生的图\(G\)称为偏序集的可比图：\(G\)的节点集由\(P\)的元素组成，而\(e\)为\(G\)中的边，仅当\(e\)的两端点在\(P\)中是可比较的，有限全序集的可比图为完全图“———百度百科

---

• 定理：对偏序集<\(A, \preccurlyeq\)>，设\(A\)中最长链的长度是\(n\)，则将\(A\)中元素分成不相交的反链，反链个数至少是\(n\)。

• 证明：施归纳于\(n\)。

  当\(n = 1\)时，\(A\)本身就是一条反链，定理结论成立。（这时\(\preccurlyeq\)是恒等关系）。

  假设对于\(n = k\)，结论成立。考虑\(n = k + 1\)的情况，当\(A\)中最长链的长度为\(k + 1\)时，令\(M\)为\(A\)中极大元的集合，显然\(M\)是一条反链。而且\(A - M\)中最长链的长度为\(k\)。由归纳假设，可以把\(A - M\)分成至少\(k\)个不相交的反链，加上反链\(M\)，则\(A\)可分成至少\(K + 1\)条反链。

---

0x02 写在最后：

在洛谷上做了一道题P1020 [NOIP1999 普及组] 导弹拦截用到该结论。