最小二乘法的计算方法（回归直线法）

 

我们有一条曲线，怎么画出线性回归曲线呢？

第一   先把n个数据测量值画在坐标纸上，如果呈现一种直线趋势，才可以进行最小二乘法（直线回归法）。

　　

第二  然后就是计算这些n个数据点的横坐标和纵坐标的各自平均值，利用如下计算公式：

　　

 

 

 第三  接着计算所有点的横坐标求和结果，以及所有点的纵坐标求和结果，如下图所示：

　　

 

 

 

 第四  然后是计算每个数据点横坐标的平方，然后求和，以及计算每个点横坐标乘以纵坐标的乘积，然后求和，如下图所示：

　　

第五  最后就是利用两个公式，把将要求的直线方程中的截距a和斜率b这两个参数代入上面的公式计算出来，如下图所示：

　　

 

 

 第六  求出了a和b这两个参数之后，就可以得到直线方程：y=ax+b。这个时候还要利用这个方程，先取两个点，

这两个点要求横坐标x1和x2距离比较远，这样误差会比较小（太近的两个点，误差比较大），

然后分别代入刚求出来的直线方程y=ax+b，求出对应的y1和y2，然后把（x1，y1）和（x2，y2）描点在坐标纸上，

这样就可以利用两点画出一条最终的回归直线了。

　　

 

方法分享结束：那么这些计算方法对不对呢？我们怎么验证查看呢？这个才是关键，如果方法是错的，我们的结果将没有意义！

验证步骤1：首先创建一个空白 Excel文件

验证步骤2：在Excel里面录入一些待验证使用的数据

　　

验证步骤3：鼠标选中这些数据，右键菜单  快速分析

　　

 

验证步骤4：选择图表、散点图

 　　

 

验证步骤5：鼠标点击图表中出现的五个点中的任意一个，在点被选中的状态下，右键菜单，添加趋势线

　　

 

 验证步骤6：最后看到我们的方法计算的结果 与 Excel自动计算的结果 是一样的（验证完成）

 　　

 

C#测试

 

        /// <summary>
        /// 计算结果
        /// </summary>
        /// <param name="sender"></param>
        /// <param name="e"></param>
        private void btnCalculationResults_Click(object sender, EventArgs e)
        {
            double a = 0.0;
            double b = 0.0;

            double RCA = 0.0;
            double RCB = 0.0;
            double residualSS = 0.0;
            double regressionSS = 0.0;

            double[] dx = new double[5];
            double[] dy = new double[5];
            double[] dr = new double[5];

            foreach (Control ctl in this.Controls)
            {
                if (ctl is TextBox && ctl.Name != "textBox1")
                {

                    try
                    {
                        int i = Convert.ToInt32(ctl.Name.Substring(ctl.Name.LastIndexOf("_") + 1))-1;
                        dx[i] = Convert.ToDouble(ctl.Text.Substring(0,ctl.Text.LastIndexOf(",")));
                        dy[i] = Convert.ToDouble(ctl.Text.Substring(ctl.Text.LastIndexOf(",") + 1));
                    }
                    catch (Exception ex)
                    {
                        MessageBox.Show("转换出错：" + ex.Message);
                        return;
                    }

                }
            }

            this.textBox1.Text = $"===========最小二乘法线性回归 ab值===============" + "\r\n";
            dr = FitLine.MultiLine(dx, dy, 5, 1);
            this.textBox1.AppendText($"a={dr[0]},  b={dr[1]} " + "\r\n");

            double maxErr = 0.0;
            double rSquared = 0.0;
            FitLineTwo.CalcRegress(dx, dy, 5, out a, out b, out maxErr, out rSquared);
            this.textBox1.AppendText($"========最小二乘法线性回归 ab值 + MaxErr + R² ======" + "\r\n");
            this.textBox1.AppendText($"a={a},  b={b} " + "\r\n");
            this.textBox1.AppendText($"maxErr={maxErr},  R²={rSquared} " + "\r\n");

        }

 

 

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