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核、值域、向量空间、行空间、零空间

1、核

所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合,通常用Ker(A)来表示。

假设你是一个向量,有一个矩阵要来变换你,如果你不幸落入了这个矩阵的核里面,那么很遗憾转换后你就变成了虚无的零。特别指出的是,核实“变换”(Transform)中的概念,矩阵变换中有一个相似的概念叫“零空间”。有的材料在谈到变换的时候使用T来表示,联系到矩阵时才用A,本文把矩阵直接看作“变换”。核所在的空间定义为V空间,也就是全部向量原来的空间。

2、值域

某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合,通常用R(A)来表示。

假设你是一个向量,有一个矩阵要来变换你,这个矩阵的值域表示了你将来所有可能的位置。值域的维度也叫做秩(Rank)。值域所在的空间定义为W空间。

3、空间

向量与建立在其上的加、乘运算构成了空间。向量可以(也只能在)空间中变换。使用坐标系(基)在空间中描述向量。

不管是核还是值域,它们都是封闭的。意思是说,如果你和你的朋友困在核里面,你们不管是相加还是相乘都还会在核里面,跑不出去,这就构成了一个子空间。值域同理。

数学家证明了,V(核所在的空间定义为V空间)的维度一定等于它的任意一个变换矩阵的核的维度加上值域的维度。

clip_image006

严格的证明可以参考相关资料,这里说一个直观的证明方法:

V的维度也就是V的基的数目。这些基分为两部分,一部分在核中,一部分是值域中非零象的原象(肯定可以分,因为核和值域都是独立的子空间)。如果把V中的任意向量用基的形式写出来,那么这个向量必然也是一部分在核中,另一部分在值域中非零象的原象里。现在对这个向量作变换,核的那部分当然为零了,另一部分的维度刚好等于值域的维度。

 

四、变换矩阵行空间和零空间的关系

根据矩阵的性质,变换矩阵的行数等于V的维度,变换矩阵的秩等于值域R的维度,所以可以得出:

clip_image008

因为A的秩又是A行空间的维度(注意在非满矩阵中这个数肯定小于行数),所以上述公式可以变为:

clip_image010

之所以写成这个形式,是因为我们可以发现A的零空间和A的行空间是正交互补的。正交是因为零空间就是核,按定义乘以A的行向量当然为零。互补是因为它们加起来刚好张成整个V空间。

这个正交互补导致了非常好的性质,因为A的零空间和A的行空间的基组合起来刚好可以凑成V的基。

 

五、变换矩阵列空间和左零空间的关系

如果把以上方程取转置,则可以得到:

clip_image012

因为clip_image014的实际意义是把值域和定义域颠倒过来了,所以clip_image014[1]的零空间就是值域以外的区域投向V中零点的所有向量的空间,有人将其称为“左零空间”(Left Null Space)。这样就可以得到:

clip_image016

同样,A的左零空间与A的列空间也正交互补,它们加起来刚好可以张成W空间,它们的基也构成了W的基。

 

六、变换矩阵行空间和列空间的关系

变换矩阵实际上就是把目标向量从行空间转换到列空间。

矩阵的行空间、列空间、零空间、左零空间构成了我们在线性代数研究中的所有空间,把它们的关系弄清楚,对于分别的基转换非常重要。

 

七、特征方程的秘密

我们试图构造一个这样的变换矩阵A:它把向量变换到一个值域空间,这个值域空间的基是正交的;不仅如此,还要求任对于意一个基v都有 clip_image018 的形式,clip_image020 是原来空间的一个已知基。这样我们就能把复杂的向量问题转换到一个异常简单的空间中去。

如果clip_image020[1] 的数量不等于v,那么用clip_image022取代A,可以变为一个对称且半正定矩阵,它的特征向量正是要求的基v!

再次说明,矩阵不等于变换,把矩阵看成变换只是提供一个理解变换矩阵的方法。或者,我们可以认为,矩阵只是变换的一种变现形式。

转自:特征值和特征向量的几何和物理意义

posted on 2015-04-29 09:33 fuleying 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏