最长上升子序列

例题二:最长上升子序列
问题描述
一个数的序列ai，当a1 < a2 < ... < aS的时候，我们称这个序 列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到 一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子 序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比 如子序列(1, 3, 5, 8).
你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。


输入数据
输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给 出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。
输出要求
最长上升子序列的长度。
输入样例
7
17 3 5 9 4 8 输出样例
4

解题思路
1.找子问题
“求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是个 子问题，但这样分解子问题，不具有“无后效性”
假设F(n) = x,但可能有多个序列满足F(n) = x。有的序 列的最后一个元素比 an+1小，则加上an+1就能形成更长上 升子序列;有的序列最后一个元素不比an+1小......以后的事 情受如何达到状态n的影响，不符合“无后效性”


解题思路
1.找子问题
“求以ak(k=1, 2, 3...N)为终点的最长上升子序列的 长度”
一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的 “终点”。
虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但 是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中， 最大的那个就是整个问题的解。


2. 确定状态:
子问题只和一个变量-- 数字的位置相关。因此序列中数的 位置k 就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以ak做为 “终点”的最长上升子序列的长度。
状态一共有N个。


3. 找出状态转移方程:
maxLen (k)表示以ak做为“终点”的 最长上升子序列的长度那么:
初始状态:maxLen (1) = 1
maxLen (k) = max { maxLen (i):1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1
若找不到这样的i,则maxLen(k) = 1
maxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak ，且长度 最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小 于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。

//最长上升子序列
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
using namespace std;
int a[10];
int maxLen[10];
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>a[i];
        maxLen[i]=1;
    }
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            if(a[i]>a[j])
            maxLen[i]=max(maxLen[i],maxLen[j]+1); 
          }
    }
    cout<<*max_element(maxLen+1,maxLen+n+1);
    return 0;
}