HDU 3507 Print Article（斜率优化DP）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507

题目大意：概题意就是要输出N个数字a[N]，输出的时候可以连续连续的输出，每连续输出一串，它的费用是 “这串数字和的平方加上一个常数M”。（N<=500000，M<=1000）

解题思路：参考了这里的思路，这算是我写得第一题斜率优化DP了，当做模板来用吧。推理下次补上。

我们设dp[i]表示输出到i的时候最少的花费，sum[i]表示从a[1]到a[i]的数字和。于是状态转移方程就是：

dp[i]=min(dp[i]，dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2）（0<=j<i）

但是题目给出的N为最大500000，这个O（n^2）的算法显然会超时，于是可以用斜率优化，利用队列维护单调性进行优化，将复杂度降至O（n）。

代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=5e5+5;

int n,m,head,tail;
int dp[N],sum[N],q[N];//q为需要维护的队列 

// dp[i]= min{ dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2 }
int getDP(int i,int j){
    return dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
}

//yj-yk
int getUP(int j,int k){ 
    return dp[j]+sum[j]*sum[j]-(dp[k]+sum[k]*sum[k]);
}

//xj-xk
int getDOWN(int j,int k){
    return 2*(sum[j]-sum[k]);
}

int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        dp[0]=sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            scanf("%d",&sum[i]);
            sum[i]+=sum[i-1];
        }
        head=tail=0;
        q[tail++]=0;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            //队列元素有两个以上时,维护g(k,j)=(yj-yk/xj-xk)<sum[i]，注意分母为0不能直接比较斜率 
            while(head+1<tail&&!(getUP(q[head],q[head+1])<sum[i]*getDOWN(q[head],q[head+1]))){
                head++;//相当于淘汰q[head]也就是k
            }
            dp[i]=getDP(i,q[head]);
            //队列元素有两个以上时,维护g(k,j)<g(j,i)
            while(head+1<tail&&!(getUP(q[tail-1],i)*getDOWN(q[tail-2],q[tail-1])>getUP(q[tail-2],q[tail-1])*getDOWN(q[tail-1],i))){
                tail--;
            }
            q[tail++]=i;
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}