CF2002D2 DFS Checker (Hard Version) 题解

https://codeforces.com/problemset/problem/2002/D2

---

考虑找一个容易维护的必要条件，再证明充分性。我们希望这个条件在 swap 后需要重新 check 的不多

每个子树对应一个区间，子树根位于左端点

父子

自下而上地 check 每个子树都合法

父子 \(u,v\) 满足 \(dfn[u]<dfn[v]\land dfn[v]+siz[v]-1\le dfn[u]+siz[u]-1\)

只需要 check \(\min\{dfn[v]\},max\{dfn[v]+siz[v]-1\}\)，multiset 维护

时间复杂度 \(O((n+q)\log n)\)

相邻位置

相邻的结点 \(p_{i-1},p_i\) 有两种情况：\(fa[p_i]=p_{i-1}\)；叶子 \(p_{i-1}\) 在子树 \(fa[p_i]\) 中，回溯到 \(fa[p_i]\)（\(fa[p_i]\) 的 \(p_{i-1}\) 方向的子树搜完了），再递归到 \(p_i\)

事实上不需要括号中的条件

\(p_1=1\)，\(p_{i-1}\) 在子树 \(fa[p_i]\) 中

Pf. 对于子树 \(u\)，满足 \(p_{i-1}\) 不在子树 \(u\) 中且 \(p_i\) 在子树 \(u\) 中的位置只有一个 \(p_i=u\)（只有子树 \(fa[u]\) 中有不在子树 \(u\) 中的点）

时间复杂度 \(O(n+q)\)