算法第三章作业

一、实践报告
1.1
1.最优子结构：从(i,j)到(N,N)的最优路径，由从(i,j)向右走到(i,j+1)后的最优路径或从(i,j)向下走到(i+1,j)后的最优路径”之一构成。

2.递归方程式：
dp[i][j] = a[i][j] + min(dp[i+1][j], dp[i][j+1])

3.定义：
dp[i][j] = 从 (i,j) 出发，走到右下角 (N,N) 的最小总费用；
a[i][j]：当前格子的费用；
dp[i+1][j]：从下方格子出发到终点的最小费用；
dp[i][j+1]：从右方格子出发到终点的最小费用；

4.边界条件
1）终点：dp[N][N] = a[N][N]
2）最后一行 i = N：
dp[N][j] = a[N][j] + dp[N][j+1]
3）最后一列 j = N：
dp[i][N] = a[i][N] + dp[i+1][N]

1.2
1.填表法中表的维度：(N + 1) × (N + 1)，下标从 1 到 N，第 0 行和第 0 列不使用

2.填表范围：
i ：1 <= i <= N
j ：1 <= j <= N

3.填表顺序：
整体是从右下到左上，即自下而上，自右向左
先填终点 (N,N)
再填最后一行：j 从 N-1 递减到 1
再填最后一列：i 从 N-1 递减到 1
最后填内部：i 从 N-1 递减到 1，j 从 N-1 递减到 1

4.原问题的最优值是 dp[1][1]

1.3
1.时间复杂度 = O(N²)：一共有NN 个状态，每个状态只做一次min比较、一次加法，单层双重循环。
2.空间复杂度 = O(N²)：本题我开了两个二维数组a和dp，都是((N+1)(N+1）规格，O(N²) + O(N²) = O(N²)

二、对动态规划算法的理解和体会：
动态规划的核心是拆分、复用子问题，它适合有最优子结构、重叠子问题的问题。动态规划把已经算出来的子问题结果保存在 dp 表里，每个子问题只算一次，用空间换时间。
做题核心是写出状态转移方程，找到边界判断填表顺序，保证算当前状态时，它依赖的子问题已经计算完成。