算法第二章实践作业

1、自然语言描述：找第k小（快速选择，分治）
先用partition函数，传入数组a以及left和right，以x=a [left]为基准，用一个大循环（满足i<j）将数组划分成两部分，左边所有元素小于等于基准，右边所有元素大于等于基准。
具体做法是:
用一个外部的大循环，嵌套两个小循环，第一个小循环先从右往左找，满足i<j且a[j]<=x的时候，将此时的a[j]赋值给a[i]，然后第二个小循环从左往右找，找出比基准大的数，将此时的a[i]赋值给a[j]，不断循环，不断交换，直到i>=j，此时a[i]左边所有元素小于等于基准，右边所有元素大于等于基准,最后将基准赋值给a[i],返回此时下标i。

找出第k小的数是用find的函数来实现，传入数组a,左右下标和k。
具体做法是:
调用partition函数得到基准的下标p，计算基准在当前区间是第 rank = pos-left+1小。
通过rank和k比较分三种情况讨论:
若rank = k：基准就是答案，返回 a [p]
若rank > k：目标在左半区间，递归在[left, pos-1]找第k小
若rank < k：目标在右半区间，递归在[pos+1, right]找第k−rank小，因为是在右边区间找，所以要去掉包括基准的前面的数。

2、时间复杂度分析
最好情况O (n)
每次partition划分，基准刚好落在区间中间，左右两部分大致均分。每次递归只需要处理一半区间。
最坏情况 O (n²)
每次选的基准都是当前区间最大/最小元素，划分极度不均衡，一边只有 1 个元素，另一边剩下全部元素。例如数组已经有序，每次选最左当基准。

3、对分治法的体会和思考
分治法的核心思想是分、治、合：把一个规模大的原问题，分解成若干结构相同、规模更小的子问题；然后递归求解子问题；最后把子问题的解合并，得到原问题的解。