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LFYZ蒟蒻竟然写题解!!!……

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【NOIp2004提高组】食虫算 题解

所谓虫食算,就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了,需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。来看一个简单的例子:

 43#9865#045
+  8468#6633
 44445509678

其中#号代表被虫子啃掉的数字。根据算式,我们很容易判断:第一行的两个数字分别是555和333,第二行的数字是555。

现在,我们对问题做两个限制:

首先,我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是\(N\)进制加法,算式中三个数都有\(N\)位,允许有前导的\(0\)
其次,虫子把所有的数都啃光了,我们只知道哪些数字是相同的,我们将相同的数字用相同的字母表示,不同的数字用不同的字母表示。如果这个算式是\(N\)进制的,我们就取英文字母表午的前\(N\)个大写字母来表示这个算式中的\(0\)\(N−1\)\(N\)个不同的数字:但是这\(N\)个字母并不一定顺序地代表\(0\)\(N\)\(1\)。输入数据保证\(N\)个字母分别至少出现一次。

 BADC
+CBDA
______
 DCCC

上面的算式是一个4进制的算式。很显然,我们只要让\(ABCD\)分别代表\(0123\),便可以让这个式子成立了。你的任务是,对于给定的\(N\)进制加法算式,求出\(N\)个不同的字母分别代表的数字,使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解。

输入输出格式

输入格式:

包含四行。
第一行有一个正整数\(N(N \le 26)\)

后面的三行,每行有一个由大写字母组成的字符串,分别代表两个加数以及和。这3个字符串左右两端都没有空格,从高位到低位,并且恰好有\(N\)位。

输出格式:

一行,即唯一的那组解。

解是这样表示的:输出\(N\)个数字,分别表示\(…A,B,C,…\)所代表的数字,相邻的两个数字用一个空格隔开,不能有多余的空格。

输入输出样例

输入样例#1:

5
ABCED
BDACE
EBBAA

输出样例#1:

1 0 3 4 2

说明

对于30%的数据,保证有\(N \le 10\)
对于50%的数据,保证有\(N \le 15\)
对于全部的数据,保证有\(N \le 26\)

题目链接

题解

对于这道题,很明显可以总结出它的模型,将问题转化为已知\(N\)元一次方程组以及\(N\)元不等式的求解问题。也就是说可以通过高斯消元来解决。

在这之前,要先知道高斯消元是什么。

答:高斯消元就是加减消元。

对于一个\(N\)元方程组,我们可以将它转化为矩阵乘法的形式,或者一个矩阵的形式。比如说下面这个方程组:
$ x +y = 10\( \) x - 3y = 6$

可将其转化为:

\[\begin{Bmatrix}1 & 1\\1 & -3\end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}x & y\end{Bmatrix} =\begin{Bmatrix}10 \\ 6\end{Bmatrix}(1) \]

也可转化为

\[\begin{matrix}1 & 1 & 10 \\1 & -3 & 6\end{matrix} \]

而后,将每一层的方程处理后与下面的方程相加消去一个未知数,一般情况下,当消除第\(i\)层时,消掉第\(i\)个未知数。
这样消元的矩阵呈现出倒三角型, 如图所示:

\[\begin{Bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & ... & a_{2n} \\ ...&...&...&...&...&... \\ a_{n1} &...& ... &...&...& a_{nn} \end{Bmatrix} (2) \]

\[\begin{Bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & ... & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & a_{24} & ... & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & ... & ...&a_{3n} \\...&...&...&...&...&... \\ 0 & 0 & 0 & 0 & ...& a_{nn} \end{Bmatrix}\begin{Bmatrix}c_1 \\ c_2 \\ c_3 \\ ...\\ c_n\end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ ... \\ b_n \end{Bmatrix} (3) \]

如果不好理解,我们可以先模拟下上述过程, 先举个例子:

1 -2 3 6
4 -5 6 12
7 -8 10 21

在这里要注意一下,我们往往是将这个系数绝对值最大的方程转移到被减的这一行,这样就可以减小误差

所以我们先将矩阵变成这样

7 -8 10 21
4 -5 6 12
1 -2 3 6

然后将方程化简,使要被消去的未知数系数为1, 方便后面消元

1 -8/7 10/7 3
4 -5 6 12
1 -2 3 6

然后与下面的式子加减消元,消去未知数,即系数化为0;

1 -8/7 10/7 3
0 -3/7 2/7 0
0 -6/7 11/7 3

然后这时候第一列就被化简完成
第二第三行同理,最终会被化简为上图\((3)\)

那么我们可以根据上述的过程模拟出高斯消元代码:

#include<bits/stdc++.h>
const double EPS = 1e-8;
double b[111][111];
int n;
int main(){
  scanf("%d", &n);
  for(int i = 0; i < n; i++){ //方便起见,我们从0开始编号
    for(int j = 0; j < n; j++)
      scanf("%lf", &b[i][j]);
    scanf("%lf",&b[i][n]);
  }
  for(int i = 0; i < n; i++){
    int pos = i;
    for(int j = i; j < n; j++)
      if(fabs(b[i][j]-b[pos][i]) <= EPS) pos = j; //调整矩阵
    for(int j = 0; j <= n; j++) std::swap(b[i][j], b[pos][j]);
    if(fabs(b[i][i]) <= EPS){ printf("No Solution\n"); return 0;}
    for(int j = i+1; j <= n; j++) b[i][j] /= b[i][i];  // 化简方程
    for(int j = 0; j < n; j++) if(i != j) for(int k = i+1; k <= n; k++) b[j][k] -= b[j][i]*b[i][k]; // 消元
}
  for(int i = 0; i < n; i++) printf("%.2lf\n", b[i][n]);
  return 0;
}

再回到这道题,就很容易得出解了。
与高斯消元不同的是,这里的解也是未知数,但是未知数的范围是确定的,所以要列出矩阵
根据样例可以列出矩阵:

\[\begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & -1 \end {bmatrix} \begin{bmatrix} A\\B\\C\\D\\E \end {bmatrix} = \begin{bmatrix} {0\ \ \ \ \ or\ \ \ \ \ n }\\{0\ \ or\ \ -1\ \ or\ \ n-1}\\{0\ \ or\ \ -1\ \ or\ \ n-1}\\{0\ \ or\ \ -1\ \ or\ \ n-1}\\{0\ \ or\ \ -1\ \ or\ \ n-1} \end {bmatrix} \]

由此可以得出代码:(由于博主比较弱,代码一旦超过50行就会引起不适,故高斯消元部分压了部分行。

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 26
int n,equ,var,d[MAXN+10],x[MAXN+10];bool vis[MAXN+10];char s[3][MAXN+10];
typedef int matrix[MAXN+10][MAXN+10];matrix a,g;
int gcd(int a,int b) {	int t;	while(b) {t=a%b;a=b;b=t;}	return a;}
bool check() {
	memset(vis,0,sizeof vis);
	for(int i=1; i<=n; i++) {		x[i]=0;
		for(int j=1; j<=n; j++)	x[i]+=g[i][j]*d[j];
		if(x[i]%a[i][i]||x[i]/a[i][i]<0||x[i]/a[i][i]>=n||vis[x[i]/a[i][i]]) return 0;
		x[i]/=a[i][i];		vis[x[i]]=1;
	}
	return 1;
}
void dfs(int i) {
	if(i==n) {
		if(check()) {
			for(int i=1; i<n; i++)	printf("%d ",x[i]);
			printf("%d\n",x[n]);   exit(0);
		}return ;
	}d[i]=1;	dfs(i+1);	
        d[i]=0;	dfs(i+1);
}
int main() {
	scanf("%d", &n);	scanf("%s%s%s",s[0],s[1],s[2]);
	for(int i=0; i<n; i++) {
		for(int j=0; j<2; j++) a[n-i][s[j][i]-'A'+1]++;
		a[n-i][s[2][i]-'A'+1]--;
	}
	for(int i=1; i<=n; i++)   g[i][i]=n,g[i][i-1]=-1;
	g[1][0]=0;	equ=var=n;
	for(int row=1, col=1; row<=equ&&col<=var; row++,  col++) {   int mxr=row; // 高斯消元,压行写法, 方便从字符中处理。
		for(int i=row+1; i<=equ; i++)
			if(abs(a[i][col])>abs(a[mxr][col])) mxr=i;
		if(mxr!=row)	std::swap(a[row],a[mxr]), std::swap(g[row],g[mxr]);
		if(!a[row][col]) {row--;continue;}
		for(int i=1; i<=equ; i++)
			if(i!=row&&a[i][col]) {
				int lcm=a[i][col]/gcd(a[i][col],a[row][col])*a[row][col];
				int t1=lcm/a[i][col],t2=lcm/a[row][col];
				for(int j=1; j<=var; j++) {
					g[i][j]=t1*g[i][j]-t2*g[row][j];	
                                        a[i][j]=t1*a[i][j]-t2*a[row][j];
				}
			}
	}	
        dfs(1);
}

posted on 2018-10-23 20:43  legend_noa  阅读(152)  评论(0编辑  收藏  举报