数学分析（下）
无穷级数
定义
数列或函数列\(v_1, v_2, v_3, ..., v_n\)的加和
记作\(\sum \limits^{\infty}_{n=1} v_n\)
级数收敛的定义：若级数的部分和数列（即原数列的\(S_n\)）收敛，则级数收敛
用处
- 表示函数
- 研究函数性质
- 近似计算
分类
- 常数项级数
- 函数项级数
两个研究问题
- 敛散性
- 和函数
常数项级数
定义
\(前n项的和S_n称为\)部分和
若\(\lim \limits_{n\rightarrow \infty}=S\)(S为常数), 则称级数收敛
S称为级数的和
例1 讨论等比级数(几何级数)的敛散性
- 当公比\(|q|\geq 1\)时, 发散
- 当\(0<|q|<1\)时, 收敛
敛散的基本性质
-
把一个级数的每一项乘一个常数, 级数的敛散性不变
-
收敛级数\(\pm\)收敛级数=收敛级数
发散级数\(\pm\)收敛级数=发散级数
发散级数\(\pm\)发散级数=无法判断敛散性 -
在一个级数的前面加上/减去有限项, 或修改其前有限项, 其敛散性不变
-
级数收敛\(\Rightarrow\)原数列的极限为0
但数列极限为0, 级数不一定收敛, 如调和级数
柯西审敛原理
\(对\forall\epsilon>0, \exists N, 使得n>N时, 对\forall p\in N^+, 有|v_{n+1}+v_{n+2}+...+v_{n+p}|<\epsilon\)
应用的核心是把\(|v_{n+1}+v_{n+2}+...+v_{n+p}|\)进行向上放缩, 使其与p无关, 并令这个值小于\(\epsilon\),得出N的取值范围
也就是说核心是求N
正项级数
定义
原数列每一项都为正的级数
正项级数的审敛法
-
有界审敛法: 部分和有上界\(\Leftrightarrow\)级数收敛
-
比较审敛法I: 大于发散的级数, 则发散, 小于收敛的级数, 则收敛
-
比较审敛法II: 设\(\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lambda\)
- 若\(\lambda>0\), 则两级数同时收敛或发散
- 若\(\lambda=0\), 若\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}b_n\)收敛, 则\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n\)也收敛
- 若\(\lambda=+\infty\), 若\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}b_n\)发散, 则\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n也发散\)
常用的参考级数: 几何级数、p级数(\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\))
收敛/发散的本质是原数列趋近于0的速度快慢
讨论p级数的敛散性(p>0):
- p$\geq$1时, 级数收敛
- p$\leq$1时, 级数发散
-
积分审敛法
若级数\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n\)的原数列单调递减, 若存在单调减函数, 使得\(f(n)=u_n\), 则级数\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n\)与广义积分\(\int _1^{\infty}f(x)dx\)同敛散 -
比值审敛法(达朗贝尔判别法)
设\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n\)为正项级数, 且\(\lim \limits_{n\rightarrow \infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=\rho\), 则- 当\(\rho<1\)时, 级数收敛
- 当\(\rho>1\)或\(\rho=\infty\)时, 级数发散
- 当\(\rho=1\)时, 级数可能收敛也可能发散
类似于用几何级数当标杆
适用于连乘或n!
- 根值审敛法(柯西判别法)
设\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n\)为正项级数, 且\(\lim \limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho\), 则- 当\(\rho<1\)时, 级数收敛
- 当\(\rho>1\)或\(\rho=\infty\)时, 级数发散
- 当\(\rho=1\)时, 级数可能收敛也可能发散
也类似于用几何级数当标杆
适用于含有n次幂因子的级数
能用比值法判断的，一定能用根值法，但反之不然
用于衡量阶乘大小的斯特林公式：\(\lim \limits_{n\rightarrow +
\infty} \frac{n!}{(\frac{n}{e})^n \times\sqrt{2n\pi}}=1\)
即：\(n!\sim(\frac{n}{e})^n \sqrt{2n\pi}\)
交错级数
定义
设\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n\)为正项级数，则\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n\)与\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} u_n\)为交错级数
交错级数的审敛法：莱布尼茨判别法
设\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^n u_n\)为交错级数, 若\(u_n\)递减, 且\(\lim \limits_{n\rightarrow +\infty}u_n=0\), 则交错级数收敛
且其余项\(|S-S_n|\leq u_{n+1}\)
如何判断\(u_n是否单减\)
- \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\)是否小于1
- \(u_{n+1}-u_n\)是否小于0
- 研究\(u_n\)对应的函数\(f(x)\)，求导
绝对收敛与条件收敛
对任意项级数\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n\)
若\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}|u_n|\)收敛，则称原级数绝对收敛
若\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n\)收敛但\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}|u_n|\)不收敛，则称原级数条件收敛
- 绝对收敛的级数一定收敛
定理：设\(p_n=\frac{u_n+|u_n|}{2}, q_n=\frac{u_n-|u_n|}{2}\)
- 则对绝对收敛级数, \(p_n\)与\(q_n\)均收敛
- 对条件收敛结束，\(p_n\)与\(q_n\)均发散
定理：绝对收敛级数，改变其各项的顺序，和不变
函数项级数
设\(u_n(x)\)为定义在区间I上的函数, 则称\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=u_1(x)+u_2(x)+...+u_n(x)+...\)为定义在区间I上的函数项级数
收敛点、域、发散点、域
若数项级数\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n(x_0)\)收敛/发散, 则称该点为收敛点/发散点, 所有收敛/发散点的集合称为收敛域/发散域
和函数和余项
和函数: 在收敛域上, 函数项级数的和是x的函数S(x), \(S(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)\), 称S(x)为和函数
余项：部分和\(S_n(x)=\sum \limits_{k=1}^{n}u_k(x)\), 余项\(r_n(x)=S(x)-S_n(x)\), \(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} r_n(x)=0\)
求函数项级数收敛域
- 定义法: 部分和函数存在极限
- 绝对值比值/根值法:
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{u_{n+1}(x)}{u_n(x)}\right|=\rho(x)\)或\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\left|u_n(x)\right|}=\rho(x)\)
- 若\(\rho(x)>1\), 原级数发散
- 若\(\rho(x)<1\), 原级数收敛
- 若\(\rho(x)=1\), 真不好说
\(\Rightarrow\)找收敛域: 先求出\(\rho(x)<0\)的x范围, 再检验边界值是否收敛
幂级数
形如\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n(y-x_0)^n\)的级数称为幂级数
一般令\(x=y-x_0\), 得\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n x^n\)
- 敛散性
阿贝尔定理:
- 若幂级数\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n x^n\)在\(x_0\)处收敛, 则对任意\(|x|<|x_0|\), 级数都绝对收敛
- 若幂级数\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在\(x_1\)处发散, 则对任意\(|x|>|x_1|\), 级数都发散
幂级数的收敛区间(不含端点)关于原点对称
收敛半径: 若幂级数\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)在|x|<R绝对收敛,在|x|>R发散, 则称R为级数的收敛半径, 开区间(-R, R)为收敛区间
(若级数仅在0处收敛, 则R=0; 若级数在整个实数域收敛, 则R=\(\infty\))
- 收敛半径与系数的关系
若幂级数\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}a_n x^n\)满足\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\rho\), 则\(R=\frac{1}{\rho}\)
(当\(\rho =0\)时, R=0; 当\(\rho =\infty\)时, R=\(\infty\))
- 根值法也可以用同样的方法求收敛半径, \(\rho=\lim\limits_{n\rightarrow \infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}\)
- 若幂级数有缺项, 则不能直接用此定理(如\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n x^{2n-1}\), \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n x^{2n}\))
缺项的处理方法:
- 作变换
如: 令\(x^2=t\), 则上面两个级数变为 \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}xa_n t^{n-1}\), \(\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n t^{n}\)- 用比值法或根值法求收敛半径
幂级数的性质
- 四则运算
- 加减
两个幂级数相加/相减, 得到的级数的收敛半径为原来两个级数中较小的那个 - 乘法
两个幂级数相乘(注意是s(x)整体相乘, 而不是逐项相乘), 得到的级数的收敛半径为原来两个级数中较小的那个 - 除法
两个级数相除, 得到的级数收敛半径可能比原来两个级数的收敛半径都小得多
函数项级数的性质
- 一致收敛与其判别法
一致收敛: 对于\(\forall\epsilon >0, \exists N\)使得n>N时, 对任意收敛域上的x, 有\(|S(x)-S_n(x)|<\epsilon\), 且这里的N只与\(\epsilon\)有关, 与x无关, 则称函数项级数一致收敛
威尔斯特拉斯判别法: 对函数项级数\(\sum \limits_{n=0}^{\infty}u_n(x)\)若存在一个收敛的数项级数\(\sum \limits_{n=1}^{\infty}a_n\), 使得对每一项都有\(|u_n(x)|<a_n\), 则该函数项级数一致收敛
- 一致收敛级数的性质
- 逐项求极限
\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty} \sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\lim \limits_{n\rightarrow \infty}u_n(x)\) - 逐项求积分
\(\int_a^b \sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\int_a^b u_n(x)\) - 逐项求导
\(\frac{d}{dx} \sum \limits_{n=1}^{\infty}u_n(x)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx} u_n(x)\)
- 幂级数的内闭一致收敛性
在幂函数的收敛区间的任意闭子区间上, 幂级数一致收敛
幂级数和函数的性质
- 幂级数的和函数在收敛区间上连续
即\(\lim \limits_{x\rightarrow x_0}S(x)=S(x_0)\), 且和函数可以逐项求极限 - 幂级数的和函数在其收敛区间上可积, 且可以逐项积分
- 幂级数的和函数在其收敛区间上可导, 且可以逐项求导
逐项求积或导后, 所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径
\(\Rightarrow\)幂函数的和函数在其收敛区间具有任意阶导数
如何求级数的和函数:
- 将原函数化为标准幂级数的积分或求导的形式
- 可以求出标准幂级数的和函数: 等比数列求和
- 幂级数的积分/求导和求和可以互换位置
泰勒级数
定理1: 函数在\(x_0\)处能展开成泰勒级数\(\Leftrightarrow\)泰勒公式在该点的余项的极限为0
定理2: 若f(x)能展开成x的幂级数, 则其展开式是唯一的, 且与麦克劳林级数相同
展开成幂级数的方法
- 直接展开: 写泰勒公式
- 间接展开: 利用已知级数展开式
傅里叶级数
三角级数
\(\frac{a_0}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi}{l}x+b_n\sin\frac{n\pi}{l}x)\)
三角级数及三角级数系的正交性
组成三角级数的函数系：\(1, \cos\frac{\pi}{l}x, \sin\frac{\pi}{l}, \cos\frac{2\pi}{l}x, \sin\frac{2\pi}{l}, ..., \cos\frac{n\pi}{l}x, \sin\frac{n\pi}{l}\)
- 函数系在\([-l, l]\)上正交，即其中任意两个函数的乘积在\([-l, l]\)上的积分为0
- \(2l\)是其中每个三角函数的周期
傅里叶级数
函数的傅里叶系数：
\(\begin{cases}
a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx&(n=0,1,2,...)\\
b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^lf(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx&(n=1,2,3,...)
\end{cases}\)
以傅里叶系数为系数的三角级数称为f(x)的傅里叶级数
狄利克雷定理：若一个函数在一个周期内：
- 连续或只有有限个第一类间断点
- 只有有限个极值点
则f(x) 的傅里叶级数收敛，且
\(\frac{a_0}{2}+\sum \limits_{n=1}^{\infty}(a_n\cos\frac{n\pi}{l}x+b_n\sin\frac{n\pi}{l}x)=
\begin{cases}
f(x),& x为连续点\\
\frac{f(x^+)+f(x^-)}{2},&x为间断点
\end{cases}\)
特殊情形：
- 周期为2l的奇函数，其傅里叶级数中只有正弦
- 周期为2l的偶函数，其傅里叶级数中
周期延拓：
若一个函数在长度2l的区间上有定义，则若函数以2l为长度一直复制，则展开为普通傅里叶级数；若函数经过对称，展开成周期为4l的奇/偶函数，则展开为正弦/余弦级数
多元函数微分学
邻域和区域
邻域
一个点周围很小的范围内的点集，分圆/球邻域和方邻域
记作\(U(P_0, \delta)\)
区域
内点：对点集E，若有P，使得P的某邻域\(U(P)\subset E\)，P为E的内点
外点：若\(U(P)\cap E=\emptyset\)，边界点则P：若称为E的外点
边界点：若\(U(P)\)中既有内点，又有外点，则P为边界点
聚点
若对任意P的去心邻域，总有点在E中，则P为E的聚点，聚点的集合称为的导集
若P周围没有其他点属于E，则P为孤立点
开集和闭集
开集：若E的点都是内点，则E为开集
闭集：补集是开集的集合
连通：若E中任意两点都可以用一条完全属于E的折线相连，则E是连通的
连通的开集称为区域（开区域），开区域同它的边界称为闭区域
整个平面是最大的区域，也是最大的闭域
有界
若对区域D，存在点A使得任意D中的点P，P到A的距离小于某定值K，则称B为有界域，否则为无界域
\(\epsilon\)的关系
多元函数的极限
设f(x,y)在平面点集D内有定义，\(P_0(x_0,y_0)\)为D的一个聚点，A为一实常数，若对任意给定的\(\epsilon>0\)，总存在正数\(\delta\)，对任意的\(P(x,y)\in D\)，当\(0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta\)时，恒有\(|f(x,y)-A|<\epsilon\)，则称当\(P(x,y)\rightarrow P_0(x_0,y_0)\)时，\(z=f(x,y)\)以A为极限
记作\(\lim \limits_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}f(x,y)=A\)，\(\lim\limits_{\begin{aligned}x\rightarrow x_0\\ y\rightarrow y_0\end{aligned}}f(x,y)=A\)，\(\lim\limits_{P\rightarrow P_0}f(x,y)=A\)
证明函数的极限：
对\(|f(x,y)-A|\)放缩，构造与\(\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}\)有关的式子，得到\(\delta\)与\(\epsilon\)的关系
一元函数的极限四则运算、不等式、夹逼准则等对多元函数也适用
二元函数的极限概念也可以推广到更多元的函数
证明函数的极限不存在：
- x, y沿某一路径趋近于P，极限不存在
- x, y沿不同路径(如y=kx等)趋近于极限点，极限值不相等
多元函数的连续性
设n元函数定义在D上，聚点\(P_0\in D\)，如果存在\(\lim\limits_{P\rightarrow P_0}f(P)=f(P_0)\)，则称函数在\(P_0\)处连续，否则称为不连续，\(P_0\)为间断点
闭域D上连续多元函数的性质
- \(\exists K>0\)使得\(|f(P)|\leq K\)（有界性）
- f(P)在D上可取得最大值M与最小值m（最值定理）
- 对任意\(\mu \in[m,M],\exists Q \in D\)，使\(f(Q)=\mu\)（介值定理）
- f(P)在D上一致连续
多元函数求导
偏导数
一个自变量固定为常量，对另一个自变量求导
即\(\lim\limits_{\Delta x\rightarrow o}\frac{f(x_0+\Delta x, y_0)-f(x_0, y_0)}{\Delta x}\)
若极限存在，则此极限值称为\(z=f(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)处对x的偏导数，称函数在该点对x可偏导
记作\(\frac{\partial z}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}\)，\(\frac{\partial f}{\partial x}|_{(x_0,y_0)}\)，\(z_x(x_0,y_0)\)，\(f_x(x_0,y_0)\)等
偏导函数
若对定义域每一点都可偏导，则偏导数为一个关于x，y的函数，记作\(\frac{\partial z}{\partial x}\)，\(\frac{\partial f}{\partial x}\)，\(z_x(x,y)\)，\(f_x(x,y)\)等
有偏导不一定连续！
求某点偏导数：先求后代vs先代后求
偏导数几何意义
\(y=y_0\)的截痕曲线的切线斜率
偏导数的性质
- 若函数不连续，也可能存在偏导数
高阶偏导数
偏导数的偏导数
先x后y：\(\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2z}{\partial x \partial y}=f_{xy}(x,y)\)
先x后x：\(\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x})=\frac{\partial^2z}{\partial x \partial x}=f_{xx}(x,y)\)
定理：若n元函数在某点的各个k阶混合偏导都连续，则这些混合偏导在这点的导数值相等
全微分
若函数\(f(x,y)\)在定义域的内点\((x,y)\)处的全增量\(\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x,y)\)可表示成\(\Delta z=A\Delta x+B\Delta y+o(\rho), \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\)，且A、B仅与x，y有关，与\(\Delta x, \Delta y\)无关，称\(A\Delta x+B\Delta y\)为函数的全微分，且称函数在该点可微
\(dz=\frac{\partial z}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial z}{\partial y}\)，记作\(dz=d_xz+d_yz\)，\(d_xz, d_yz\)称为偏微分
可微与连续的关系：可微一定连续，连续不一定可微
可微与偏导的关系：可微一定有偏导，有偏导不一定可微，偏导（对x和对y）都存在且连续，一定可微，但可微不一定偏导数连续
验证f(x,y)在某一点是否可微
- f(x,y)本身是否连续
- 对x，对y偏导是否存在
- 两偏导函数是否连续
- 偏导定义式
高阶全微分
\(d(dz)=f_xdx^2+2f_{xy}dxdy+f_ydy^2\)一般默认偏导连续，所以\(f_{xy}=f_{yx}\)
方向导数与梯度
方向导数
对一点\(P_0(x_0,y_0)\)，设\(l(x,y)\)为从\(P_0\)出发的射线，在\(l\)上的P的邻域内一点\(P(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)\)，则若极限\(\lim \limits_{\rho\rightarrow 0^+}\frac{f(P)-f(P_0)}{\rho}\)（\(\rho = \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\)）存在，记此极限为函数在P点的沿l的方向导数，记作\(\frac{\partial f}{\partial l}|_{P=P_0}\)
几何意义：相当于在l的垂面上求偏导
方向导数的计算
定理：若函数在某一点可微，则它在该点沿任一方向的方向导数都存在
若\(l\)与x，y轴的夹角分别为\(\alpha, \beta\)，则\(l\)的方向导数\(=f_x(P_0)\cos\alpha+f_y(P_0)\cos\beta\)
若l的方向向量为\(\overrightarrow{n}\)，则\(\frac{\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{n}|}=(\cos\alpha, \cos\beta)\)
梯度
设\(\overrightarrow{G}=(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y})\)，\(\overrightarrow{l^0}=(\cos\alpha, \cos\beta)\)，则\(\frac{\partial f}{\partial l}|_{P=P_0}=\overrightarrow{l^0}×\overrightarrow{G}\)，当l与G方向一致时，方向导数取最大值=|G|，记\(\overrightarrow{G}=(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y})\)为函数的梯度，称为\(grad{f}\)或\(\nabla f\)
梯度的运算公式
- \(grad{C}=\overrightarrow{0}\)
- \(grad{Cu}=Cgrad{u}\)
- \(grad{u\pm v}=grad{u}\pm grad{v}\)
- \(grad{uv}=ugrad{v}+vgrad{u}\)
- \(grad{f(u)}=f'(u)grad{u}\)
复合函数求导法则
中间变量为一元函数的情况
\(z=f(u,v),u=u(t),v=v(t)\)，且z=f(u,v)在(u,v)处偏导数连续
则\(\frac{dz}{dt}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{dv}{dt}\)
方法：画树图
从z出发，有几条路径到达t，得出来的导数就有几项，这几项分别对应u、v
注意，这里的u、v在题目里是自己设的，不能直接用
若偏导数存在但不连续，则上述定理不一定成立
上述链式法则可以扩展到三个及以上中间变量的情形
中间变量为多元函数的情形
\(z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)\)，且z=f(u,v)在(u,v)处对u、v偏导数连续，且u、v在点(x,y)处存在偏导数
则对复合函数z
\(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\)
\(\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\)
特殊情况：若\(z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x)\)，且z=f(u,v)在(u,v)处对u、v偏导数连续，且u在点(x,y)处存在偏导数，v在x处可导
\(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\)
\(\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}\)
原因：\(\frac{\partial v}{\partial y}=0\)
复合函数的中间变量也为自变量的情形
\(z=f(x,u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)\)，且z=f(x,u,v)在(x,u,v)处对x，u、v偏导数连续，且u、v在点(x,y)处存在偏导数
则
\(\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}\)
\(\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}\)
注意\(\frac{dz}{dx}\)与\(\frac{\partial f}{\partial x}\)不同
抽象复合函数的高阶偏导
\(z=f(u,v),u=u(x,y),v=v(x,y)\)，且z=f(u,v)在(u,v)处对u、v偏导数连续，且u、v在点(x,y)处存在偏导数
可以将\(\frac{\partial f}{\partial u},\frac{\partial f}{\partial v}\)表示为\(f_1’,f_2’\)，表示f对第一个、第二个变量求导，用\(f_{11}’’,f_{12}’’\)表示f先对第一个变量求导，再对第一、二个变量求导
一阶全微分形式的不变性
\(z=f(u(x,y), v(x,y))\)，则\(dz=\frac{\partial z}{\partial u}du+\frac{\partial z}{\partial v}dv\)
隐函数的求导
隐函数存在定理
二元函数
- 若F(x,y)在某点邻域内具有连续偏导数，\(f(x_0,y_0)=0\)， \(F_y(x,y)\neq 0\)，则由F(x,y)=0可确定一连续单值函数y=f(x)，满足\(y_0=f(x_0)\)，且\(\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}\)
- 若F(x,y)的二阶偏导也连续，则\(\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dx}(-\frac{F_x}{F_y})\)
三元函数
若F(x,y,z)在某点邻域内具有连续偏导数，\(f(x_0,y_0,z_0)=0\)， \(F_z(x,y,z)\neq 0\)，则由F(x,y,z)=0可确定一连续单值函数z=f(x,y)，满足\(z_0=f(x_0,y_0)\)，且\(\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z}, \frac{\partial z}{\partial z}=-\frac{F_y}{F_z}\)
复合函数求导法：假装z是x的函数，把y当常值，对隐函数左右两边分别求导
方程组确定的隐函数
\(\begin{cases}
F(x,y,u,v)&\\
G(x,y,u,v)
\end{cases}\)
得
多元函数的极值、最值
极值
当某点某邻域内的函数值都小于/大于该点函数值时，此点为极大/小值点
求函数极值
极值点可能偏导存在，也可能不存在
方法：对\(z=f(x,y)\)
-
求出两个偏导都为0的点
-
求出这些点的二阶偏导\(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}=A, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=B, \farc{\partial^2 z}{\partial y^2}=C\)
-
判断\(AC-B^2\):
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\(AC-B^2\)
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