CCF 201609-4 交通规划

问题描述

试题编号：	201609-4
试题名称：	交通规划
时间限制：	1.0s
内存限制：	256.0MB
问题描述：	问题描述 　　G国国王来中国参观后，被中国的高速铁路深深的震撼，决定为自己的国家也建设一个高速铁路系统。 　　建设高速铁路投入非常大，为了节约建设成本，G国国王决定不新建铁路，而是将已有的铁路改造成高速铁路。现在，请你为G国国王提供一个方案，将现有的一部分铁路改造成高速铁路，使得任何两个城市间都可以通过高速铁路到达，而且从所有城市乘坐高速铁路到首都的最短路程和原来一样长。请你告诉G国国王在这些条件下最少要改造多长的铁路。 输入格式 　　输入的第一行包含两个整数n, m，分别表示G国城市的数量和城市间铁路的数量。所有的城市由1到n编号，首都为1号。 　　接下来m行，每行三个整数a, b, c，表示城市a和城市b之间有一条长度为c的双向铁路。这条铁路不会经过a和b以外的城市。 输出格式 　　输出一行，表示在满足条件的情况下最少要改造的铁路长度。 样例输入 4 5 1 2 4 1 3 5 2 3 2 2 4 3 3 4 2 样例输出 11 评测用例规模与约定 　　对于20%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10，1 ≤ m ≤ 50； 　　对于50%的评测用例，1 ≤ n ≤ 100，1 ≤ m ≤ 5000； 　　对于80%的评测用例，1 ≤ n ≤ 1000，1 ≤ m ≤ 50000； 　　对于100%的评测用例，1 ≤ n ≤ 10000，1 ≤ m ≤ 100000，1 ≤ a, b ≤ n，1 ≤ c ≤ 1000。输入保证每个城市都可以通过铁路达到首都。

求解思路：

 

　　要使“从所有城市乘坐高速铁路到首都的最短路程和原来一样长”，容易想到从首都结点开始做单源最短路，修建的高速铁路一定在这些最短路上。

　　如果把每个结点到首都的最短路径上的边都修建成高速铁路，则显然任何两个城市间都可以以首都作为中继结点，通过高速铁路互相到达。

　　如果同时存在多条最短路径，应该选择扩展时用到的边距离最小的那一条。

　　很显然，如果利用dijkstra算法从1结点开始往外扩展，每扩展一个结点刚好就要多修一条高速铁路，因此在做求解最短路时，可以记录下每个结点扩展时所需要多修建的这条高速铁路的长度，在扩展时遇到有多种可能的最短路情况时，记录下边权最小的一个。

 

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int MAX=10005;
const int INF=1e9;
int n,m;

struct HeapNode
{
    int d,u;
    bool operator<(const HeapNode& r)const
    {
        return d>r.d;
    }
};

struct Edge
{
    int to,dis;
};

vector<Edge>G[MAX];
int d[MAX];
bool vis[MAX];

int cost [MAX];
void dijkstra(int s)
{
    priority_queue<HeapNode>Q;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        d[i]=cost[s]=INF;
    d[s]=cost[s]=0;
    memset(vis,0,sizeof vis);

    Q.push({0,s});

    while(!Q.empty())
    {
        HeapNode x=Q.top();
        Q.pop();

        int u=x.u;

        if(vis[u])
            continue;
        vis[u]=true;

        for(int i=0;i<G[u].size();i++)
        {
            Edge& e=G[u][i];
            if(d[e.to]>d[u]+e.dis)
            {
                d[e.to]=d[u]+e.dis;
                Q.push({d[e.to],e.to});
                cost[e.to]=e.dis;
            }
            //记录下边权最小的一个
           if(d[e.to]==d[u]+e.dis&&cost[e.to]>e.dis)
                cost[e.to]=e.dis;
        }
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
        for(int i=0;i<m;i++)
        {
            int a,b,c;
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            G[a].push_back({b,c});
            G[b].push_back({a,c});
        }

        dijkstra(1);
        int ans=0;
         for(int i=2;i<=n;i++)
            ans+=cost[i];

         printf("%d\n",ans);

    return 0;
}