洛谷P3623题解

原题

P3623 [APIO2008]免费道路

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思路概述

题意分析

给定 \(n\) 个结点， \(m\) 条无向边，其中有水泥路和石子路。求该图的生成树，并要求其中含 \(k\) 条石子路。若存在合法的生成树，则输出任意构造方案；反之则输出字符串"no solution"。

思路分析

自由之路

本题涉及图中的生成树问题，所以首先考虑Kruskal算法。但由于选特殊边的过程中会破坏生成树的结构，显然一次Kruskal算法不能解决问题，考虑多次运行求必要边，最后在其余边中继续选取其他边。

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算法实现

关于必要边

在展开内容前，笔者决定先简要说明什么是必要边。

下图中，即使所有边权为 \(1\) 的边全部连上，只要全图联通，则必须连红框中的一边。对于这种无论何种方式都需要连的边我们称其为必要边。

这种边的求法也很简单，只需要将另一种边全部连上，再连当前种类的边，而此时连的边则都为必要边。本题中只需要求石子路中的必要边，即先连水泥路，再连石子路，此时连的石子路都是必要边。

多次Kruskal的具体实现

将所有无向边按边权（种类）从小到大排序，便于优先选取石子路连边

首先，必要边肯定应该存在于答案中，所以在求必要边时就直接打上标记。

求出必要边后，再依次考虑每一条石子路能不能加进去，直到凑够 \(k\) 条石子路。

最后用剩余的水泥路将图完全连通为生成树。

一些细节

数据中可能出现 \(k>cnt_{stone}\) 的情况，所以读入时先记录石子路数量。

连石子路时一定注意满足 \(cnt_{stone}<k\) 时才连边，且注意处理与属于必要边的石子路的重复问题。

码量不大，但是重复内容很多，建议分块检查调试。一定不要复制之前的代码片段。

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AC code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<set>
#include<ctime>
#define RI register int
using namespace std;
const int maxn=2e5+10;
typedef struct
{
	int u,v;
	bool type,mark;/*type表示道路类型 mark表示是否选取*/
	inline void output(void)/*懒得打代码 封装输出模块*/
	{
		cout << u << " " << v << " " << type << endl;
		return;
	}
}side;
typedef struct
{
	int pre,dep;
	inline void init(int x)
	{
		pre=x;dep=1;
		return;
	}
}node;
side s[maxn];
node e[maxn];
int n,m,k,cnt,tot,brd;
inline bool cmp(side x,side y);/*边权排序*/
inline void init(int x);/*并查集初始化*/
inline int find(int x);/*祖先查询*/
inline void merge(int x,int y);/*并查集结点合并*/
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
	cin >> n >> m >> k;
	for(RI i=1;i<=m;++i)
	{
		cin >> s[i].u >> s[i].v >> s[i].type;
		brd+=(!s[i].type);/*记录石子路数量*/
	}
	sort(s+1,s+m+1,cmp);init(n);
	/*优先连水泥路 求必要石子路*/
	for(RI i=brd+1;i<=m;++i) if(find(s[i].u)!=find(s[i].v)) merge(s[i].u,s[i].v);
	for(RI i=1;i<=brd && cnt<k;++i)
		if(find(s[i].u)!=find(s[i].v))
		{
			merge(s[i].u,s[i].v);s[i].mark=1;
			++cnt;++tot;
		}
	init(n);
	for(RI i=1;i<=m;++i) if(s[i].mark) merge(s[i].u,s[i].v);/*连必要石子路*/ 
	for(RI i=1;i<=m;++i)/*在没连够k条石子路前优先连石子路 最后连水泥路*/
		if(find(s[i].u)!=find(s[i].v) && (s[i].type || cnt<k))
		{
			merge(s[i].u,s[i].v);s[i].mark=1;
			cnt+=(s[i].type^1);++tot;
		}

	if(cnt!=k || tot!=n-1) puts("no solution");/*石子路没连够k条或没有形成树都属于无解*/
	else for(RI i=1;i<=m;++i) if(s[i].mark) s[i].output();
 	return 0;
}
inline bool cmp(side x,side y)
{
	return x.type<y.type;
}
inline void init(int x)
{
	for(RI i=1;i<=x;++i) e[i].init(i);
	return;
}
inline int find(int x)
{
	return (e[x].pre==x)?x:(e[x].pre=find(e[x].pre));
}
inline void merge(int x,int y)
{
	RI fx=find(x),fy=find(y);
	if(e[fx].dep<=e[fy].dep) e[fx].pre=fy;
	else e[fy].pre=fx;
	if(e[fx].dep==e[fy].dep) ++e[fy].dep;
	return;
}