[转]二重积分换元法的一种简单证明

10．3二重积分的换元积分法

在一元函数定积分的计算中，我们常常进行换元，以达删繁就简的目的，当然，二重积分也有换元积分的问题。

首先让我们回顾一下前面曾讨论的一个事实。

设换元函数 ，视其为一个由定义域到的映射．点的象点为，点x的象点为，记

，

则由到点的线段长为，到的线段长为，称为映射在点到点的平均伸缩率。若在点处可导，则

=

即称是映射在点处的伸缩率。

对于由平面区域到的映射我们有如下结论：

引理 若变换在开区域存在连续偏导数，且雅可比行列式，。变换将平面上开区域变为平面上开区域。，其象点为，则包含点的面积微元及与之相对应的包含点的面积微元之比是，即=

下面给出引理3.1的说明，严格的证明从略。由图3。1所示，在内作以点为顶点的矩形,而变换，将分别变为平面上的四点，矩形变为曲边四边形。而曲边四边形的四个顶点的坐标由泰勒公式表示为：

：

：+

+

：

忽略高阶无穷小与，曲边四边形近似平行四边形，其面积

===其中是矩形的面积。于是

在引理条件下，函数组，在的某邻域具有连续的反函数组

再根据9.1节性质1.2有=于是==

定理3.1  若函数在有界闭区域连续，函数组将平面上区域一一对应地变换为平面上区域，且该函数组在存在连续的偏导数，，则

=

证 用任意分法将区域分成个小区域，其面积分别记为；变换，将分法变为上的分法，将分割成个小区域，其面积分别记为，由引理可知，对于，有

于是，在上对应唯一点且，于是

在定理3.2的条件下，变换在有界闭区域上存在连续的反函数组，他们必在上一致连续，所以当时，必有又注意到函数在的连续性，因而他在上可积，于是在中令，有=完成定理3。2的证明。

在二重积分的计算中，若被积函数为的形式，或积分区域为所谓的圆形区域时，通常采用极坐标变换它能使前者化简为一元函数。

后者若为图3.2所示的区域，利用极坐标变换能化为平面上的型区域。则积分==

=

特别，极点在边界上的扇形区域，即，则积分

=

极点在区域的内部，边界线是的区域，即则积分

=

例3.1  计算

 解 作极坐标变换 将圆域D变换为矩形区域，

 ，于是用公式（3.5）得

 =

 例3.2  计算，D是由

和所围的区域。

解 积分区域如图3.5所示，作极坐标变换，则D化为区域，其边界曲线为=，，于是得

==

例3．3 其中D是由所围成的平面区域

解 区域D及如图3.6所示，有=-而=4

在极坐标系下，有, 因此=于是=4－．

例3．4 计算，其中D是由曲线所围成的有界区域．

解由于积分区域D可表示为故替换

，则积分区域变为，在极坐标下

于是

例3．5   计算

解 由对称性，原积分

其中。作广义极坐标变换：

则变换为矩形区域（图3.7）

且

于是

例3．6   求曲线与所围成区域的面积

解由二重积分的性质可知，区域的面积

作变换：

，

则这个变换平面上曲线变为平面

上的曲线、变为，于是它将区域变为

平面上由和所未成的区域（图3.8 ）。且

于是

例3．7   计算

解  作变换：则，将变换为闭圆域，且

故

由对称性

于是

例3．8  计算，是由、、和所围成的区域。

解 作变换：，，则这个变换将变换为平面上的正方形区域（图3.9）。由于

且

故 

又注意到，于是